Az aritmetika alapjai (Frege)

Az aritmetika alapjai (Die Grundlagen der Arithmetik, rövid idegen néven Grundlagen) Gottlob Frege jénai matematikus 1884-ben írt műve. A mű eredeti, teljes német címe Die Grundlagen der Arithmetik: eine logisch-mathematische Untersuchung über den Begriff der Zahl (Breslau, 1884); azaz Az aritmetika alapjai: a számfogalom logikai-matematikai vizsgálata. E mű magyarul is megjelent (ld. az irodalomjegyzéket) .

E munkájában Frege alapvetően három tudományos feladatba vág bele és végzi el ezeket gyakorlatilag teljes sikerrel:

• 1. A természetes számok megalapozásával kapcsolatosan kimutatja a matematikában, filozófiában és egyéb tudományokban addig és akkoriban elterjedt számfelfogások és számdefiníciók filozófiai és matematikai tarthatatlanságát, irrelevanciáját;
• 2. Vázolja a természetes számok egy lehetséges, matematikai logikára alapuló megalapozását és ezzel valószínűsíti egy ilyen felépítés lehetőségét, illetve vázlatosan kitér a bővebb számkörök (valós, komplex) megalapozásának problematikájára;
• 3. Ezzel pedig (amennyiben az előbbi megalapozási út helyesnek bizonyul) bizonyítja azt a filozófiai tézisét, hogy az aritmetika a logika része.

Frege szerint a számok fogalmak, mégpedig olyan fogalmak, melyek a „fogalmakat jellemzik”. Bizonyos fogalmakat „azonosítani” tudunk, egy osztályba sorolni egy bizonyos ekvivalenciareláció által. Ez az „X fogalom alá ugyanannyi tárgy esik, mint az Y fogalom alá” reláció lesz, de az „ugyanannyi” szót az önhivatkozás elkerülése végett ki kell még küszöbölni, mégpedig az ún. Hume-elv által (Hume „Az emberi természetről” c. művében írja, hogy valamiből ugyanannyi van, mint másvalamiből, ha az egyik fajtában lévő minden dologhoz pontosan egy dolog tartozik a másikból, és fordítva). tehát az egy adott szám mint fogalom alá eső „tárgyak” maguk is fogalmak. Ezt úgy mondja Frege, hogy a számok másodfokú fogalmak. Ezért van az, hogy az aritmetika törvényei bizonyára logikai törvények: minthogy nem empirikus dolgokról, hanem az ezekből logikailag képzett fogalmakról állítanak valamit. A számokra vonatkozó általános állítások ezért nem természettörvények, hanem ezeknek a törvényeknek a törvényei: eme státuszuk magyarázza, hogy alkalmazhatóak a természetre; és emiatt téveszthetőek össze könnyen az empirikus állításokkal.

A mű története

Öt évvel a Fogalomírás megjelenése, és néhány, a fogalomírás témáját tovább boncolgató cikke után jelentette meg, Carl Stumpf tanácsára . E törekvését ha elismerés nem is, de siker mindenesetre koronázta: az Aritmetika alapjai poroszos precízséggel felépített, részletes és alapos, ugyanakkor tömör és világos nyelvezettel megfogalmazott mű, az érthető és emberarcú filozófia és matematika örök példája.

Frege valószínűleg levonta előző műve, a Fogalomírás hűvös fogadtatásának tanulságait, és megfogadta Carl Stumpf azon tanácsát, hogy a kérdéses témába vágó gondolatait és indokait fejtse ki részletesen is a nagyközönség számára érthetőbb, köznyelven írott formában, mivelhogy „ez mindkét munka fogadtatására nézve kedvezőbb lenne”.

Tartalom

(az oldalszámozás az Áron Kiadónál megjelent kiadásra vonatkozik (ld. Irodalom).

Fejezet vagy bekezdés száma

A fejezet címe vagy egy alfejezet hosszabb-rövidebb, egy-két mondatos összefoglalója

Oldalszám

Bevezetés

	Bevezetés (Előszó)	11.
	Bevezetés	21.
1. §	A matematikában újabban felismerhető a törekvés a bizonyítások szigorúságára és a fogalmak pontos megragadására.
2. §	A vizsgálatnak végső soron ki kell terjednie a számosság fogalmára. A bizonyítás célja.
3. §	Az ilyen vizsgálódás filozófiai indítékai: azon vitás kérdések, hogy a számok torvényei vajon analitikus vagy szintetikus igazságok, a prioriak vagy a posterioriak-e. E kifejezések értelme.
4. §	Könyvünk feladata

I. fejezet

I. f.	Néhány szerző véleménye az aritmetikai tételek természetéről	25
	Bizonyíthatóak-e a számformulák?	25
5. §	Kant tagadja ezt; nézetét Hankel joggal nevezi paradoxnak.
6. §	Leibniz bizonyítása arra, hogy 2+2=4, tartalmaz egy hézagot. Grassmann definíciója a+b-re hibás.
7. §	Mill nézete, miszerint az egyes számok definíciói megfigyelt tényeket állapítanak meg, megalapozatlan.
8. §	Ezeknek a definícióknak a jogosságához nem szükséges a szóban forgó tények megfigyelése
	Induktív igazságok-e az aritmetika törvényei?	31
9. §	Mill természettörvénye. Amikor Mill aritmetikai igazságokat természettörvénynek nevez, összetéveszti ezeket alkalmazásaikkal.
10. §	Indokok azzal szemben, hogy az összeadás törvényei induktív igazságok: a számok nem egyformák; nem áll, hogy már a definíció által birtokunkban van a számok közös tulajdonságainak egy csoportja; valószínűleg megfordítva, az indukciót kell az aritmetikára alapozni.
11. §	A leibnizi „velünk született”
	Az aritmetika törvényei szintetikus a prioriak-e, vagy pedig analitikusak?	36
12. §	Kant. Baumann. Lipschitz. Hankel. A belső szemlélet, mint megismerési alap.
13. §	Az aritmetika és a geometria különbözősége.
14. §	Az igazságok összehasonlítása az általuk kormányzott terület szempontjából.
15. §	Leibniz és St. Jevons nézetei.
16. §	Hogyan becsüli le ezzel szemben Mill „a nyelv ügyes kezelését”. A jelek azért még nem üresek, mert semmi észlelhetőt nem jelentenek.
17. §	Az indukció elégtelensége. Feltételezzük, hogy a számok törvényei analitikus ítéletek; miben áll akkor a hasznuk. Az analitikus ítéletek értékéről

II. fejezet

II. f.	Néhány szerző véleménye a számosság fogalmáról	43
18. §	A számosság általános fogalma vizsgálatának szükségessége.
19. §	A definíció nem lehet geometriai.
20. §	Definiálható-e a szám? Hankel. Leibniz
	Külső dolgok tulajdonsága-e a számosság?	45
21. §	M. Cantor és E. Schröder véleménye.
22. §	Ezzel szemben Baumann: a külső dolgok nem képeznek szigorú egységeket. A számosság látszólag a mi felfogásunktól függ.
23. §	Mill véleménye, mely szerint a szám dolgok aggregátumainak a tulajdonsága, tarthatatlan.
24. §	A szám átfogó alkalmazhatósága. Mill. Locke. Leibniz testetlen metafizikai alakzata. Ha a szám valami érzéki volna, nem lehetne nem érzéki dolgoknak tulajdonítani.
25. §	Mill fizikai különbségtétele 2 és 3 között. Berkeley szerint a szám nincs reálisan a dolgokban, hanem a szellem alkotja azt.
	A szám valami szubjektív-e?	50
26. §	Lipschitz leírása a számok képzéséről nem találó és nem helyettesítheti a fogalmi meghatározást. A szám nem a pszichológia tárgya, hanem valami objektív.
27. §	A szám nem az, aminek Schloemilch véli: egy objektum valamely sorozaton belüli helyének a képzete
	A számosság, mint halmaz	54
28. §	Thomae névadása

III. fejezet

III. f.	Vélemények az egységről és az egyről	55
	Tárgyak tulajdonságát fejezi-e ki az „egy” számnév?	55
29. §	A „monasz” és „egység" kifejezések sokértelműsége. E. Schröder azon meghatározása, mely szerint az egység a megszámlálandó tárgy, láthatóan céltalan. Az „egy” jelző nem tartalmaz semmi közelebbi meghatározást, nem fogható fel predikátumként.
30. §	Leibniz és Baumann meghatározási kísérletei nyomán az egység fogalma, úgy látszik, teljesen eltűnik.
31. §	Baumann szerint az ismertetőjegyek: osztatlanság és elhatároltság. Az egység Idáját nem mi fűzzük hozzá minden egyes objektumhoz (Locke).
32. §	A nyelv mégis mutat valamilyen összefüggést az osztatlansággal és elhatároltsággal, azonban más értelemben.
33. §	Az oszthatatlanság, mint ismertetőjegy (G. Köpp) nem tartható
	Egyenlőek-e egymással az egységek?	60
34. §	Az egyenlőség, mint az „egység” név alapja. E. Schröder. Hobbes. Hume. Thomae. Ha elvonatkoztatunk a dolgok különbözőségétől, ezzel nem kapjuk meg a számosság fogalmát, és a dolgok sem lesznek ezáltal egyenlőek.
35. §	A különbözőség még szükséges is, ha sokaságról kell beszélnünk. Descartes. E. Schröder. St. Jevons.
36. §	Az egységek különbözőségének nézete is nehézségekbe ütközik. Különböző egységek St. Jevonsnál.
37. §	Locke, Leibniz, Hesse számmeghatározásai az egységről vagy az egyről.
38. §	Az „egy” tulajdonnév, az „egység” fogalomszó. A szám nem definiálható. egységekként. Az „és” és a + különbözősége.
39. §	Az „egység” többértelműsége fedi el annak nehézségét, hogy összebékítsük az egységek egyenlőségét és különbözőségét
	Kísérletek a nehézség áthidalására	67
40. §	Tér és idő, mint a megkülönböztetés eszközei. Hobbes. Thomae. Ezzel szemben: Leibniz, Baumann, St. Jevons.
41. §	Nem érünk célhoz.
42. §	A sorozaton belüli hely mint a megkülönböztetés eszköze. Hankel tételezése.
43. §	Schrödeτ a tárgyakat az 1 jellel képezi le.
	A nehézség megoldása	72
45. §	Visszapillantás.
46. §	A szám megadása egy fogalomról szóló kijelentést tartalmaz. Az az ellenvetés, mely szerint változatlan fogalom mellett a szám megváltozna.
47. §	A számmegadás tényszerűségét a fogalom objektivitása magyarázza.
48. §	Némely nehézségek feloldása.
49. §	Megerősítés Spinozánál.
50. §	E. Schröder fejtegetése.
51. §	Ennek helyesbítése.
52. §	Megerősítés egy német szófordulat által.
53. §	Különbség egy fogalom ismertetőjegyei és tulajdonságai között. Létezés és szám.
54. §	Egységnek egy számmegadás alanyát nevezhetjük. Az egység oszthatatlansága és elhatároltsága. Egyenlőség és megkülönböztethetőség

IV. fejezet

IV. f.	A számosság fogalma	80
	Minden egyes szám önálló tárgy	80
55. §	Kísérlet arra, hogy kiegészítsük Leibniznek az egyes számokra adott definícióit.
56. §	A megkísérelt definíciók használhatatlanok, mert olyan kijelentést magyaráznak, amelynek a szám csupán egy része.
57. §	A számmegadás számok közötti egyenlőségként tekintendő.
58. §	Az az ellenvetés, hogy a szám nem képzelhető el önálló tárgyként. A szám egyáltalában elképzelhetetlen.
60. §	Még konkrét dolgok sem mindig elképzelhetőek. Ha egy szó jelentése után kérdezünk, akkor mondatban kell azt vizsgálnunk.
61. §	Ellenvetés: a számok nem térbeliek. Nem minden tárgy térbeli
	Hogy a számosság fogalmához eljuthassunk, rögzítenünk kell a számegyenlőségek értelmét	86
62. §	Szükségünk van a számegyenlőség egy ismertetőjelére.
63. §	Ilyen [ismertetőjel] az egyértelmű hozzárendelés lehetősége. Az a logikai kétség, hogy így nem adunk-e egyre az esetre külön meghatározást az egyenIőségre.
64. §	Példák hasonló eljárásra: az irány, a síkok állása, a háromszögek alakja.
65. §	Kísérlet a definícióra. Egy második kétely: eleget teszünk-e az egyenlőség törvényeinek.
66. §	Harmadik kétely: az egyenlőség ismertetőjele nem elégséges.
67. §	A kiegészítés nem történhet úgy, hogy a fogalom ismertetőjegyeként azt a módot vesszük, ahogy egy tárgyat bevezetünk.
68. §	A számosság, mint fogalom terjedelme.
69. §	Magyarázat
	Definíciónk kiegészítése és igazolása	94
70. §	A kapcsolatfogalom.
71. §	Hozzárendelés kapcsolatfogalom által.
72. §	A kölcsönösen egyértelmű kapcsolat. A számosság fogalma.
73. §	Az F fogalmat megillető számosság egyenlő azzal a számossággal, amely a G fogalmat megillett, ha van olyan kapcsolat, amely az F fogalom alá eső dolgokat kölcsönösen egyértelműen hozzárendeli a G alá esőekhez.
74. §	Nulla az a számosság, amely az „önmagával nem egyenlő” fogalmat megilleti.
75. §	Nulla számosság illeti meg azokat a fogalmakat, amelyek alá semmi nem esik.
76. §	Az „n a természetes számok sorozatában közvetlenül következik m-re” kifejezés meghatározása.
77. §	1 az a számosság, amely a „0-val egyenlő” fogalmat megilleti.
78. §	Definíciónk segítségével bizonyítandó tételek.
79. §	A sorozaton belüli rákövetkezés definíciója.
80. §	Ide vonatkozó megjegyzések. A rákövetkezés objektivitása.
81. §	Az „x az y-nal végződő φ-sorozathoz tartozik” kifejezés definíciója.
82. §	Vázlatos bizonyítása annak, hogy a természetes számok sorozatában nincs utolsó tag.
83. §	A véges számosság definíciója. Nincs olyan véges számosság, amely a természetes számok sorozatában saját magára következne
	Végtelen számosságok	108
84. §	A „véges számosság” fogalmat megillető számosság végtelen.
85. §	A Cantor-féle végtelen számosságok; „kardinális szám”. Eltérés a megnevezésben.
86. §	Cantor szukcesszív rákövetkezése és az én sorozatbeli-rákövetkezésem

V. fejezet

IV. f.	Befejezés	110
87. §	Az aritmetikai törvények természete.
88. §	Kant lebecsülő véleménye az analitikus ítéletekről.
89. §	Kant tétele, mely szerint „érzékiség nélkül nem volnának számunkra adott tárgyak”. Kant érdeme a matematikát illetően.
90. §	Az aritmetikai törvények analitikus természetének teljes kimutatásához még hiányzik egy hézagmentes következtetési lánc.
91. §	Ennek a hiánynak a pótlása fogalomírásom segítségével lehetséges
	Másféle számok	115
92. §	A számok lehetségességének értelme Hankel szerint.
93. §	A számok sem a térben rajtunk kívül vannak, sem pedig szubjektívek.
94. §	Egy fogalom ellentmondásmentessége nem biztosítja, hogy van, ami a fogalom alá esik, és önmagában is bizonyításra szorul.
95. §	(c-b)-t nem tekinthetjük minden további nélkül olyan jelnek, ami megoldja a kivonás feladatát
96. §	A matematikus sem alkothat bármit önkényesen
97. §	A fogalmakat meg kell különböztetni a tárgyaktól
98. §	Hankel meghatározása az összeadásra
99. §	A formális elmélet hiányosságai
100. §	A komplex számok kimutatásának azon kísérlete, hogy a szorzás jelentését sajátos módon értelmezik
101. §	Egy ilyen kimutatás lehetősége nem közömbös a bizonyítás hordereje szempontjából
102. §	Annak puszta megkövetelése, hogy egy művelet végrehajtható legyen, nem kielégítése a követelménynek
103. §	Kossak meghatározása a komplex számokra csak utalás egy definícióra, és nem kerüli el a különnemű belekeverését. A geometriai ábrázolás
104. §	Az a cél, hogy az új számokra is rögzítsük egy újrafelismerési ítélet értelmét
105. §	Az aritmetika vonzereje észjellegében rejlik
106.-109. §	Visszapillantás	124
	A Grundlagen kontextusai (a fordító utószava)	129
	Irodalom	154

Irodalom

• Frege, Gottlob: Az aritmetika alapjai (a számfogalom logikai-matematikai vizsgálata), er.: Die Grundlagen der Arithmetik (Eine logische-matematische Untersuchung über den Begriff der Zahl). Máté András fordítása. Áron Kiadó, Bp., 1999. ISBN 963-9210-03-X .