Skaláris szorzat

A skaláris szorzat, más néven belső szorzat a lineáris algebrában egy vektortér két vektorához hozzárendelt skalár. Jelölése: $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b}$, $\mathbf {a} \mathbf {b}$, $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ vagy $\langle {\mathbf {a} },{\mathbf {b} }\rangle$. Műveletnek csak annyiban nem nevezhetjük, hogy elemekhez más típusú elemeket rendel.

Általában két értelmezés használatos, az egyik az euklideszi térben levő vektorokra, a másik általánosabb, bármely vektortérre vonatkozik.

Két geometriai vektor skaláris szorzatát megkapjuk, ha összeszorozzuk abszolútértéküket (hosszukat) és az általuk közbezárt szög koszinuszát.

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta \;$

Háromdimenziós vektorok esetén, ha a vektorok derékszögű koordinátáival számolunk, a következőképp kapjuk meg:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}\;$

Ez akárhány dimenzióra általánosítható.

Két vektor skaláris szorzatának előjelét meghatározza a közrezárt szögük. Ha ez hegyesszög, akkor a szorzat pozitív, ha tompaszög, akkor negatív. Ha két vektor merőleges egymásra, akkor skaláris szorzatuk 0. Az állítás megfordítható, ha a skalárszorzat nulla, akkor merőleges a két vektor (a zérusvektort minden vektorra merőlegesnek tekintjük).

Definíció

Két tetszőleges $\mathbf {a} =[a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n}]$ és $\mathbf {b} =[b_{1},b_{2},\ldots ,b_{n}]$ vektor skaláris szorzata alatt a következőt értjük:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}=a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\cdots +a_{n}b_{n}$

ahol $\sum$ az összegzést és $n$ a vektortér dimenzióját jelöli.

2 dimenzióban az $[a,b]$ és $[c,d]$ vektorok skaláris szorzata $ac+bd$. Hasonlóan 3 dimenzióban: $[a,b,c]$ és $[d,e,f]$ skaláris szorzata $ad+be+cf$. Például két konkrét vektorral:

$[1,3,-5]\cdot [4,-2,-1]=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)=4-6+5=3.$

A skaláris szorzás eredménye megkapható transzponálással és mátrixszorzással:

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\,\mathbf {b} ,$

ahol mindkét vektort oszlopvektorként értelmezzük és $\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }$ jelöli $\mathbf {a}$ transzponáltját, más szóval sorvektorát.

Tulajdonságai

A skalárszorzatra érvényesek a következő tulajdonságok, amelyek az általános értelemben vett skalárszorzatra is teljesülnek, pontosabban definiálják azt.

• kommutatív: $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {b} \cdot \mathbf {a} \;$
• bilineáris: $\mathbf {a} \cdot (\lambda \mathbf {b} +\mathbf {c} )=\lambda (\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )+(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\;$
• pozitív definit: $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} \geq 0$ , és $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =0$ akkor és csak akkor ha $\mathbf {a} =\mathbf {0}$

Geometriai vektorok esetén $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} =|\mathbf {a} |^{2}$, azaz önmagával való skalárszorzat a vektor hosszának, másképpen normájának négyzetét adja meg.

Általánosítás

Általában bármely vektortér felett értelmezhetünk skalárszorzatot^[forrás?] (belső szorzatot). Általános értelemben egy adott vektortér felett bármely kétváltozós leképezést belső szorzatnak nevezünk, ha a fenti tulajdonságokat teljesíti. Egy vektortér felett akár több különböző belső szorzat is definiálható. Ilyenkor inkább szokásos a $\langle a,b\rangle$ jelölés.

Példák

• Az $\left[a,b\right]$ intervallumon folytonos, $\mathbb {R}$-be képező függvények terén értelmezett belső szorzat:

$\langle f,g\rangle =\int \limits _{a}^{b}f(t)g(t)dt.$

Komplex értékű függvények esetén az integrandus $f(t){\overline {g(t)}}$-ra módosul.

• Bármely lineáris térben értelmezhető egy adott $A$ bázishoz tartozó skalárszorzat a következőképp. Ha $\mathbf {x}$ és $\mathbf {y}$ vektor az $A$ bázisban felírható:

$\mathbf {x} =x_{1}\mathbf {a} _{1}+x_{2}\mathbf {a} _{2}+\dots +x_{N}\mathbf {a} _{N}$

$\mathbf {y} =y_{1}\mathbf {a} _{1}+y_{2}\mathbf {a} _{2}+\dots +y_{N}\mathbf {a} _{N}$

akkor az ezen bázis által meghatározott skalárszorzat:

$\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle _{A}=x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\dots +x_{N}y_{N}$

Geometriai vonatkozások

$\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\left\vert \mathbf {A} \right\vert \left\vert \mathbf {B} \right\vert \cos \theta$.
$\left\vert \mathbf {A} \right\vert \cos \theta$ az $\mathbf {A}$ vetülete $\mathbf {B}$-re.

Az euklideszi geometriában szoros összefüggés áll fenn a skalárszorzat és a hosszak, valamint a szögek között. Egy $\mathbf {a}$ vektorra $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a}$ a hosszának (abszolút értékének) négyzete, és ha $\mathbf {b}$ egy másik vektor, akkor

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} |\,|\mathbf {b} |\cos \theta \,$

ahol $\left\vert \mathbf {a} \right\vert$ és $\left\vert \mathbf {b} \right\vert$ jelöli az $\mathbf {a}$ és $\mathbf {b}$ vektor hosszát, $\theta$ pedig az általuk bezárt szög.

Mivel $\left\vert \mathbf {a} \right\vert \cdot \cos \theta$ az $\mathbf {a}$ vektornak $\mathbf {b}$-re való vetülete, a skalárszorzatot geometriailag úgy lehet értelmezni, mint $\mathbf {a}$-nak $\mathbf {b}$ irányába eső komponensének és $\mathbf {b}$-nek a szorzatát.

Mivel $\cos 90^{\circ }$ nullával egyenlő, két egymásra merőleges vektor szorzata mindig nulla. Ha $\mathbf {a}$ és $\mathbf {b}$ vektor hossza egységnyi (vagyis egységvektorok), skalárszorzatuk egyszerűen közbezárt szögük koszinuszát adja.

Így a két vektor közötti szög:

$\theta =\arccos \left({\frac {\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\right).$

A fenti tulajdonságokat időnként a skalárszorzat definíciójaként is használják, különösen 2 és 3 dimenziós vektorok esetében. Több dimenziós esetben a képletet a szög értelmezéseként lehet használni.

Geometriai vonatkozás bizonyítása

Vegyük $\mathbb {R} ^{n}$ tetszőleges elemét

$\mathbf {v} =v_{1}\mathbf {\hat {e}} _{1}+v_{2}\mathbf {\hat {e}} _{2}+...+v_{n}\mathbf {\hat {e}} _{n}.\,$

A Pitagorasz-tétel egymást követő alkalmazásával $\left\vert \mathbf {v} \right\vert$-re (a hosszra) a következőt kapjuk

$|\mathbf {v} |^{2}=v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+...+v_{n}^{2}.\,$

De ez ugyanaz, mint a

$\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+...+v_{n}^{2},\,$

ebből arra a következtetésre jutunk, hogy egy $\mathbf {v}$ vektor önmagával vett skaláris szorzata a vektor hosszának a négyzetét adja.

Lemma: $\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} =|\mathbf {v} |^{2}$.

Most vegyünk két vektort az origóban: $\mathbf {a}$-t és $\mathbf {b}$-t, melyek $\theta$ szöget zárnak közre. Definiáljunk egy harmadik, $\mathbf {c}$ vektort:

$\mathbf {c} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \mathbf {a} -\mathbf {b} .\,$

ezzel alkottunk egy háromszöget $\mathbf {a}$, $\mathbf {b}$ és $\mathbf {c}$ oldalakkal. A koszinusztételt felírva:

$|\mathbf {c} |^{2}=|\mathbf {a} |^{2}+|\mathbf {b} |^{2}-2|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta \,$

A lemma alapján a hosszak négyzetének helyébe skaláris szorzást helyettesítve kapjuk, hogy

$\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta .\,$                   (1)

De mivel $\mathbf {c} \equiv \mathbf {a} -\mathbf {b}$, azt is tudjuk, hogy

$\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =(\mathbf {a} -\mathbf {b} )\cdot (\mathbf {a} -\mathbf {b} )\,$,

ami a disztributív tulajdonság miatt

$\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ).\,$                     (2)

A két $\mathbf {c} \cdot \mathbf {c}$ egyenletet – (1) és (2) – egyenlővé téve

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )=\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} -2|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta .\,$

Kivonunk mindkét oldalról $\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} +\mathbf {b} \cdot \mathbf {b}$-t és osztunk $-2$-vel. Marad

$\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos \theta .\,$

Q.E.D.

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Dot product című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.

További információk

• Interaktív Java szimuláció két vektor skaláris szorzatának geometriai jelentéséről. Szerző: Wolfgang Bauer
• Egyszerű Flash szimuláció két vektor skalárszorzatának kapcsolatáról a koszinuszos formulával. Szerző: David M. Harrison

Kapcsolódó szócikkek

• Vektoriális szorzat