Hippokratész holdacskái

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez
Hippokratész holdacskái
Holdacskák négyszögeknél

Hippokratész holdacskái egy derékszögű háromszöghöz hozzárendelt két síkidom. A síkidomokat úgy kapjuk, hogy a derékszögű háromszög két befogója fölé rajzolt félkörből kivonjuk az átfogó fölé rajzolt – a háromszöget tartalmazó – félkör (avagy a háromszög köré írható kör) és a befogó fölötti félkörök metszetét.

A két holdacska területének összege egyenlő a derékszögű háromszög területével.

Az állítás a Pitagorasz-tétel alapján bizonyítható:

A szokásos jelölésekkel (c az átfogó): .

A félkörök területe:

Ezt az eredeti egyenletbe belehelyettesítve:

Az egyenletet 8-cal szorozva:

Az egyenletet PI-vel osztva:

Ezzel bizonyítottuk, hogy az az állítás miszerint derékszögű háromszög befogóira emelt félkörök területének összege azonos az átfogóra emelt félkör területével egyenértékű azzal az állítással, hogy a tetszőleges derékszögű háromszögben a befogók fölé írt négyzetek területeinek összege megegyezik az átfogó fölé írt négyzet területével, ami a Pitagorasz-tétel.

Az átfogóra emelt félkör területe a háromszög területének levonása után (a egyenlőséget kihasználva):

ahol a háromszög területe.

A rajzról leolvasható, hogy a fekete félholdak területe:

A tételt a matematikus Khioszi Hippokratész állította fel. Névrokona Hippokratész, a kószi orvosi iskola vezetője volt.

Hasonlóképpen értelmezhetők a holdacskák húrnégyszögek esetén is.

Források[szerkesztés]

  • Hippokratész holdacskái, Matematikai kislexikon, Budapest, Műszaki Könyvkiadó, 1972