Négyzetgyök

A matematikában a négyzetgyökvonás egy egyváltozós matematikai művelet, a négyzetre (második hatványra) emelés megfordítása (inverze). Az a szám négyzetgyökének jele: ${\sqrt {a}}$

A négyzetre emelés függvénye nem kölcsönösen egyértelmű leképezés, hiszen $a$-nak és $-a$-nak ugyanúgy $a^{2}$ a négyzete. A négyzetgyökvonás művelete így nem lenne egyértelmű, emiatt a (valós) négyzetgyök definíciójakor kikötik, hogy az eredmény legyen nemnegatív.

A racionális törtkitevős hatványozás definíciójának segítségével a négyzetgyök úgy is írható, mint ½-dik hatvány:

${\sqrt {a}}=a^{\frac {1}{2}}$

A négyzetgyökvonás egy olyan művelet, ami átvezet a komplex számokhoz, mivel a negatív valós számoknak nincs valós négyzetgyökük.

Definíció a valós számok halmazán

Ha a nemnegatív valós szám, akkor a négyzetgyökén azt a szintén nemnegatív számot értjük, aminek a négyzete a:

$b={\sqrt {a}}\quad \iff \quad b^{2}=a,\ a\geq 0,\ b\geq 0$

A valós számok halmazán negatív számokra nincs értelmezve a négyzetgyökvonás, hiszen bármely valós szám négyzete nemnegatív.

A valós négyzetgyökfüggvény

A négyzetgyökfüggvény grafikonja

Azt a függvényt, ami a nemnegatív számokhoz a négyzetgyöküket rendeli, négyzetgyökfüggvénynek nevezzük:

$f:\ \mathbb {R} \setminus \mathbb {R} ^{-}\to \mathbb {R} \qquad x\mapsto {\sqrt {x}}$

A négyzetgyökfüggvény a pozitív számok halmazán differenciálható, deriváltja

${\frac {\mathrm {d} {\sqrt {x}}}{\mathrm {d} x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}$.

Nullában ellenben nincs deriváltja; a grafikon érintője itt függőleges.

Értelmezési tartományának minden $[a,b]$ zárt intervallumán Riemann-integrálható, és egy primitív függvénye

$F(x)={\tfrac {2}{3}}\cdot ({\sqrt {x}})^{3}$.

Tulajdonságai

• Mind értelmezési tartománya, mind értékkészlete a nemnegatív valós számok halmaza:

$D_{f}=R_{f}=\mathbb {R} _{0}^{+}$

• Szigorúan monoton növekvő, azaz:

$x_{1}<x_{2}:\quad {\sqrt {x_{1}}}<{\sqrt {x_{2}}}$

• Zérushelye: x=0
• Szélsőérték:
  • Minimuma: x=0, f(x)=0
  • Maximuma nincs
• Paritás szempontjából nem páros és nem páratlan, hiszen negatív számokra nincs is értelmezve.

Számolás négyzetgyökökkel

A négyzetgyökös kifejezésekkel való számolás tulajdonságai következnek a nem negatív valós számok négyzetének tulajdonságaiból:

• ${\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}$, ha $a\geq 0,b\geq 0$
• ${\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {-a}}\cdot {\sqrt {-b}}$, ha $a\leq 0,b\leq 0$
• $0\leq a<b\;\Longleftrightarrow \;0\leq {\sqrt {a}}<{\sqrt {b}}$, mivel a négyzetgyökfüggvény szigorúan monoton nő.
• ${\sqrt {a^{2}}}=|a|$ tetszőleges a valós számra.
• ellenben $({\sqrt {a}})^{2}=a$ csak akkor teljesül, ha a nem negatív

A négyzetgyökvonással kapcsolatos problémák

• I.) Irracionális egyenletek:

Egyismeretlenes irracionális egyenleteknek nevezünk minden olyan algebrai egyenletet, ahol egyes algebrai kifejezések gyökjel alatt állnak.

• II.) Négyzetgyökvonás negatív valós számból:

Azokat a számokat, melyeket úgy kapunk, hogy egy valós negatív előjelű valós számból vonunk négyzetgyököt, imaginárius számoknak nevezzük. A komplex számok két fő részből tevődnek össze: egy képzetes (imaginárius) számból és egy valós számból.

Komplex négyzetgyökfüggvény

A komplex négyzetre emelés a valóshoz hasonlóan nem injektív. Leszűkítéssel azonban injektívvé tehető. Ennek inverz függvénye a négyzetgyökfüggvény egy ága, ami függ az adott leszűkítéstől.

A négyzetgyökfüggvény főértéke abból az ágból adódik, amit a

$D_{H}:=\{x+\mathrm {i} \,y\in \mathbb {C} \mid y>0{\text{ vagy }}(y=0,{\text{ }}x\geq 0)\}$

tartományra leszűkített négyzetre emelés definiál. Ez a leszűkítés már bijektív, és inverze, a négyzetgyökvonás főága az egész komplex számsíkon értelmezhető.

Számítása

A valós és a komplex számok négyzetgyöke többféleképpen is kiszámítható.

Valós számok

Ha a szám nem írható fel két négyzetszám hányadosaként, akkor a négyzetgyöke irracionális még akkor is, ha a szám egész. Ennek kiszámítása azt jelenti, hogy tetszőleges pontossággal megközelíthető.

• Írásbeli gyökvonás: az írásbeli osztáshoz hasonló eljárás.

A szám jegyeit hátulról kezdve párokba osztja. Az első csoport adja a négyzetgyök első jegyét. A továbbiakban sorra figyelembe veszi a következő jegypárokat, és az (a + b)² = a² + 2ab + b² azonosság alapján számol, ahol az a szám a már meglevő közelítés, és b a következő keresett számjegy.

• Intervallumok egymásba skatulyázása: könnyen érthető, de nehezen kivitelezhető módszer.

Példa: négyzetgyök kettő kiszámítása:

1² < 2 és 2² > 2 miatt az első jegy 1. 1,4² = 1,96 < 2 és 1,5² = 2,25 > 2, ezért a második jegy 4. Az eljárás hasonlóan folytatódik.

• Heron-eljárás vagy babilóniai módszer: a Newton-eljárás alkalmazása az x² - a függvényre.
• A négyzetgyökfüggvény 1 körüli Taylor-sorba fejthető a binomiális tétel szerint. A sor minden | x | < 1-re konvergens:

${\begin{aligned}{\sqrt {x+1}}&=1+\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n+1}(2n-2)! \over n!\;(n-1)!\;2^{2n-1}}x^{n}\\&=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}\pm \dots \end{aligned}}$

• CORDIC-algoritmus a gépi számításokhoz
• Grafikus módszer: a Pitagorasz-tételen alapszik

Az x számot felmérjük a számegyenesre, és Thalész-kört szerkesztünk a [0,x] szakaszra. 1-ben merőlegest állítunk a számegyesre; ez négyzetgyök x hosszú szakaszt metsz ki a körívből.

Komplex számok

Ha $z=x+iy$ a valós és a képzetes részével van megadva, akkor a négyzetgyök főértéke

${\sqrt {z}}={\sqrt {x+iy}}=\operatorname {sgn} (y){\sqrt {\tfrac {|z|+x}{2}}}+i\cdot {\sqrt {\tfrac {|z|-x}{2}}}$

ahol sgn(y) a szignumfüggvény.

Az egyetlen mellékág a $-{\sqrt {z}}$.

A polárkoordinátákban adott $z=|z|\cdot \mathrm {e} ^{\mathrm {i} \cdot (\arg(z)+2n\pi )}$ négyzetgyökei így számíthatók:

${\sqrt {z}}={\sqrt {|z|}}\mathrm {e} ^{\mathrm {i} \left(\arg(z)/2+n\pi \right)},$

ahol n = 0 vagy 1. A főérték az n = 0 esetnek felel meg.

Geometriailag, a négyzetgyökök abszolútértéke megegyezik az adott komplex szám abszolútértékének négyzetgyökével, és a főérték argumentuma az adott komplex szám argumentumának fele. A másik érték ennek a középpontosan szimmetrikus párja.

Egy z komplex szám argumentuma az (1,0,z) irányított szög.

Négyzetgyökök a maradékosztály-gyűrűkben

Ha egy n természetes számra $n\geq 2,$ akkor a négyzetgyökvonás definiálható modulo n. A valós és a komplex esethez hasonlóan a $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ maradékosztály-gyűrűben is értelmes kérdés, hogy van-e olyan q maradékosztály, ami négyzetre emelve az x maradékosztályt adja:

$q^{2}\equiv x\;\mathrm {mod} \;n$

Az x maradékosztály négyzetgyökei modulo n kiszámíthatók így:

• Prímtényezős alakba írjuk az n számot
• Megoldjuk a kongruenciát a felbontásban szereplő minden prímhatványra
• Összevetjük ezeket a megoldásokat a kínai maradéktétel szerint.

Prímszám modulus

A prímhatványokról a kongruencia visszavezethető több prím modulusú kongruencia megoldására.

Egy prím modulusra általában nincs minden maradékosztálynak négyzetgyöke. Például modulo 3 és x=2 esetén a kongruencia nem oldható meg, mert nincs négyzetszám, ami hárommal osztva kettőt ad maradékul. Ezért, ha p>2, akkor először ezt a kérdést kell megvizsgálnunk.

A kérdést az

$\left({\frac {x}{p}}\right)\equiv x^{\frac {p-1}{2}}\,{\bmod {\,}}p$

Legendre-szimbólum segít eldönteni, amire:

$\left({\frac {x}{p}}\right)={\begin{cases}-1,&{\text{ha }}x{\text{ nemkvadratikus maradék modulo }}p{\text{ ist}}\\0,&{\text{ha }}x{\text{ és }}p{\text{ nem relatív prímek }}\\1,&{\text{ha }}x{\text{ kvadratikus maradék modulo }}p{\text{ ist}}\end{cases}}$.

Ha x kvadratikus nemmaradék, akkor nincs négyzetgyöke. Ha x és p nem relatív prímek, akkor a megoldás a nulla maradékosztály. Végül, ha x kvadratikus maradék, akkor két négyzetgyöke van. Ezzel az esettel foglalkozunk a továbbiakban.

• p négyes maradéka három

Az x kvadratikus maradék két négyzetgyöke

$q\equiv \pm x^{\frac {p+1}{4}}\,{\bmod {\,}}p$

• p négyes maradéka egy

Az x kvadratikus maradék négyzetgyöke így számítható:

Választunk egy r számot, hogy:

$\left({\frac {r^{2}-4x}{p}}\right)=-1$

legyen.

Rekurzívan kiszámítjuk ezt a sorozatot:

$W_{n}={\begin{cases}r^{2}/x-2,&{\text{ ha }}n=1\\W_{n/2}^{2}-2,&{\text{ ha }}n{\text{ ps}}\\W_{(n+1)/2}W_{(n-1)/2}-W_{1},&{\text{ ha }}n>1{\text{ ptlan}}\end{cases}}$.

Ekkor az x kvadratikus maradék négyzetgyökei:

$q\equiv \pm {\frac {x}{2r}}\left(W_{\frac {p-1}{4}}+W_{\frac {p+3}{4}}\right)\,{\bmod {\,}}p$