Krull-tétel

A gyűrűelméletben Krull tétele azt mondja ki, hogy egy egységelemes gyűrűnek van maximális ideálja. A tételt Wolfgang Krull 1929-ben látta be transzfinit indukció használatával. A Zorn-lemmát használva egyszerűbb bizonyítás is adható; sőt, a tétel ekvivalens a Zorn-lemmával és így a kiválasztási axiómával is.

A tétel nemkommutatív gyűrűkben is igaz, ha maximális ideálok helyett maximális bal- illetve jobbideálokról beszélünk.

Krull tétele ekvivalens azzal a látszólag erősebb állítással, hogy egy $R$ egységelemes gyűrű bármely $I\subsetneq R$ valódi ideáljához létezik olyan ${\mathfrak {m}}\subsetneq R$ maximális ideál, hogy $I\subseteq {\mathfrak {m}}$. (Előfordul, hogy ezt erre az állításra is Krull-tétel néven hivatkoznak.) Valóban, $I=(0)$ választással visszakapjuk az eredeti állítást; megfordítva, alkalmazzuk az eredeti tételt az $R/I$ faktorgyűrűre; az így kapott maximális ideál $R$-beli ősképe egy $I$-t tartalmazó maximális ideál.

Fordítás

• Ez a szócikk részben vagy egészben a Krull's theorem című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.