Gyűrű (matematika)

Az algebrában a két kétváltozós művelettel rendelkező $R$ struktúrákat gyűrűnek nevezünk – jelölésben: $(R;+,\cdot )$ –, ha

• $(R;+)\,\!$ Abel-csoport,
• $(R;\cdot )$ félcsoport és
• a tetszőleges $a,b,c\in R$ elemekre fennállnak a következő disztributivitási szabályok:

$a\cdot (b+c)=(a\cdot b)+(a\cdot c)$, és

$(b+c)\cdot a=(b\cdot a)+(c\cdot a)$.

A + jellel jelölt műveletre általában összeadásként, a $\cdot$ jellel jelölt műveletre pedig szorzásként hivatkozunk, ez azonban nem jelenti azt, hogy a gyűrű elemei számok, illetve hogy ezek a műveletek csak a szokásos, számokon értelmezett összeadás és szorzás műveletek lehetnének, hiszen ezt a fenti definícióban nem követeltük meg. Szokás ezért a gyűrű Abel-csoportját additív csoportnak, a félcsoportját pedig multiplikatív csoportnak is nevezni. Általában nem írjuk ki a szorzópontot, tehát $a\cdot b$ helyett $ab$ szerepel.

Ha $(R;\cdot )$ kommutatív akkor kommutatív gyűrűről beszélünk, ha pedig $(R;\cdot )$ egységelemes, egységelemes gyűrűről.

Ha nullától különböző elemek szorzata ismét nullától különböző, akkor zérusosztómentes gyűrűről beszélünk. A kommutatív, zérusosztómentes, egységelemes gyűrűket integritástartományoknak nevezzük.

Példák

• Az egész számok halmaza az összeadás és szorzás műveletekkel egységelemes, kommutatív gyűrűt alkot.
• Az n×n-es mátrixok, ha $n>1$, egységelemes, de nem kommutatív gyűrűt alkotnak.
• Bármely gyűrű, melyben érvényes az xⁿ=x azonosság az összes n>1 egész kitevőre, Nathan Jacobson egy eredménye szerint kommutatív.

Részgyűrű, ideál

Egy $R$ gyűrű tartóhalmazának egy részhalmazát $R$ egy részgyűrűjének hívjuk, ha az adott részhalmaz is gyűrűt alkot az $R$-beli összeadás és szorzás megszorítására. Ellenőrzésként a legfontosabb, hogy az adott művelet ne vezessen ki a gyűrűből.

Egy $R$ gyűrű tartóhalmazának egy $I$ részhalmazát $R$ egy balideáljának nevezzük, ha bármely két $I$-beli elem különbsége (azaz az összeadás inverzét elvégezve) is $I$-beli, valamint egy tetszőleges $R$ elem megszorozva egy tetszőleges $I$-beli elemmel balról, az eredmény szintén $I$-ben lesz. Röviden kifejezve komplexusműveletekkel: $I-I\subseteq I$ és $RI\subseteq I$. Egy részhalmazt jobbideálnak nevezünk, ha a szorzás azonossága jobbról igaz, azaz $IR\subseteq I$. Amennyiben egy részhalmaz bal- és jobbideál egyszerre, akkor ideálnak nevezzük. Kommutatív gyűrűben nyilván minden bal- és jobbideál egyben ideál is, hiszen a szorzás ekkor felcserélhető. Az ideáloknak fontos szerepük van testbővítéseknél, ekkor egy irreducibilis polinom által generált ideál szerinti faktorgyűrűt vizsgálunk, ami test lesz, hiszen a szóban forgó ideál maximális. (Ezek viszonylag egyszerűen következnek a definíciókból).

Példák részgyűrűkre és ideálokra

Az egész számok körében a páros számok részgyűrűt alkotnak, hiszen bármely két páros szám összege és szorzata is páros. Ezzel szemben a páratlan számok nem alkotnak részgyűrűt, hiszen két páratlan szám összege már páros, azaz az összeadás már kivezet a páratlan számok köréből.

Az egész számok körében egy adott szám többszörösei ideált alkotnak. Tekintsük például a 8 többszöröseit, ekkor az ideálban lesznek -24, -16, -8, 0, 8, 16, 24, stb. Nyilván két ilyen szám különbsége is 8-nak a többszöröse, tehát eleme az ideálnak, valamint akármelyik egész számot szorozva 8-cal, 8-nak ismét egy többszörösét kapjuk, tehát ez is eleme az ideálnak. Természetesen akármelyik másik egész számra végigkövethető ugyanez.

Források

• Rédei, László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp. (1954)
• Szendrei, Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)