Oszthatóság

Az oszthatóság egy matematikai reláció, melynek tulajdonságait a számelmélet vizsgálja.

1. Hagyományos értelemben akkor mondjuk, hogy az a és b természetes számok között (ebben a sorrendben) fennáll az oszthatósági reláció; röviden a b szám osztója az a számnak, vagy az a szám osztható a b-vel, ha van olyan egész szám, melyet b-vel szorozva a-t kapunk, vagyis, más szóval, ha az a szám többszöröse a b-nek. A b osztó valódi osztó, ha nem azonos a-val vagy 1-gyel.
2. Egész számok helyett gyűrűk elemei között értelmezett oszthatóságról is beszélhetünk. A definíció hasonló: az a gyűrűelem osztható a b gyűrűelemmel (az a többszöröse b-nek, vagy a b osztója a-nak), ha van olyan c gyűrűelem, amellyel b-t szorozva a-t kapunk.

Oszthatóság

Oszthatósági hálódiagram a 400-nál nem nagyobb reguláris számokra

Egy a egész szám osztója egy b egész számnak, ha van olyan n egész szám, melyre a·n=b. Jele: a|b (a osztója b-nek).

Az oszthatóság tulajdonságai (bármely a,b,c egész szám esetén):

a|a (ez a reflexív tulajdonság)

1|a

a|0

a|b⇒ a|b·c

a|b és b|c⇒ a|c (ez a tranzitív tulajdonság)

a|b és a|c⇒ a|b+c

a|b és a|c⇒ a|b-c

Az oszthatósági reláció reflexív és tranzitív, a pozitív egész számok körében antiszimmetrikus.

Oszthatósági tesztek a tízes számrendszerben felírt természetes számok körében

• 2-vel osztható az a szám, melynek utolsó számjegye 0, 2, 4, 6 vagy 8, tehát páros.
• 3-mal osztható az a szám, melynek számjegyeinek összege 3-mal osztható. (Úgy is meg lehet fogalmazni, hogy 3-mal osztható az a szám, amelynek a 3-mal nem osztható számjegyeinek (vagyis a 0, 3, 6, 9 számjegyeket nem számolva) összege osztható hárommal (például a 3694692306 szám osztható 3-mal, mert hárommal nem osztható számjegyeinek összege 4+2=6 osztható 3-mal).)
• 4-gyel osztható az a szám, melynek a két utolsó jegyéből alkotott szám osztható 4-gyel. (Azaz ez a szám 00, 04, 08, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, 52, 56, 60, 64, 68, 72, 76, 80, 84, 88, 92 vagy 96.)
• 5-tel osztható az a szám, melynek utolsó számjegye 0 vagy 5.
• 6-tal osztható az a szám, mely 2-vel és 3-mal osztható. Azaz 3-mal osztható páros szám.
• 7-tel osztható az a szám, melynek számjegyeit hátulról hármasával csoportosítva és váltakozó előjellel összeadva a kapott szám osztható 7-tel. A 7-tel való oszthatóság ellenőrzéséhez az egyesek, tízesek stb. helyén álló számjegyeket sorra 3-mal, 2-vel, (-1)-gyel, (-3)-mal, (-2)-vel és 1-gyel (majd ugyanilyen sorrendben folytatva tovább ismét 3-mal, 2-vel stb.) kell szorozni, s a kapott számokat összeadni: az eredeti szám osztható 7-tel, ha az ekként kapott súlyozott összeg is osztható héttel.
• 7-tel osztható az a szám, aminek az utolsó két számjegyéből álló számhoz hozzáadva a többi számjegyből alkotott szám kétszeresét 7-tel osztható számot kapunk.
• 8-cal osztható az a szám, melynek utolsó három jegyéből alkotott szám osztható nyolccal.
• 9-cel osztható az a szám, melynek számjegyeinek összege 9-cel osztható.
• 10-zel osztható az a szám, melynek utolsó jegye 0.
• 11-gyel osztható az a szám, melynek páros helyiértéken álló számjegyeinek összege megegyezik a páratlan helyiértéken álló számjegyek összegével, vagy a kettő különbsége 11-nek a többszöröse.
• 12-vel osztható az a szám, amely osztható 3-mal is és 4-gyel is.
• 25-tel osztható az a szám, melynek a két utolsó jegyéből alkotott szám osztható 25-tel, vagyis ha a szám 00-ra, 25-re, 50-re vagy 75-re végződik.
• 50-nel osztható az a szám, melynek az utolsó két jegyéből alkotott szám osztható 50-nel. (00 vagy 50)
• 100-zal osztható az a szám, melynek az utolsó két számjegye 00.
• 125-tel azok a számok oszthatók, melyek utolsó 3 számjegyéből alkotott szám osztható 125-tel. (000, 125, 250, 375, 500, 625, 750 vagy 875.)
• A 0-val való osztást ugyan nem értelmezzük, azonban a 0 minden számmal osztható, a definíció szerint még önmagával is. Más szám nem lehet nullával osztható, hiszen a 0 minden többszöröse 0.

Oszthatósági szabályok más számrendszerekben

Nem kell egy a alapú számrendszerben felírt egész számot csak azért átváltani, hogy megállapíthassunk bizonyos oszthatóságokat.

• Az a-val és hatványaival való oszthatóság: n osztható a^h-nal, ha utolsó h jegye 0.
• Osztható a^h egy osztójával, ha az utolsó h jegyből álló szám osztható az adott osztóval.
• Osztható (a-1)-gyel vagy annak egy osztójával, ha számjegyeinek összege osztható (a-1)-gyel vagy az adott osztóval.
• Osztható (a+1)-gyel vagy annak egy osztójával, ha a páros helyiértékű jegyeit és a páratlan helyiértékű jegyeit külön-külön összeadva olyan számokat kapunk, amik különbsége osztható (a+1)-gyel vagy az adott osztóval.

Oszthatóság az egész számok körében

Ha az egész számok halmazát a szokásos összeadás és szorzás művelettel integritástartománynak tekintjük, és a fenti módon értelmezzük rajta az oszthatóság fogalmát, akkor például a 6-nak nemcsak az 1, 2, 3 és a 6 lesz osztója, hanem a -1, -2, -3 és a -6 is, mert ezekhez is lehet olyan alkalmas egész számot találni, amivel megszorozva őket mind 6-ot adnak.

Oszthatóság gyűrűkben és integritástartományokban

Definíció:

Tetszőleges $D$ integritástartomány (kommutatív, zérusosztómentes és egységelemes, általában legalább két elemet tartalmazó gyűrű) esetén $a,b\in D$ elemeire akkor mondjuk, hogy $a$ osztója $b$-nek, ha van olyan $c\in D$ elem, melyre $ac=b$.

Jelölés: $a|b$

Ahogyan a gyűrű tekinthető az egész számok halmazán értelmezett négy alapművelet által meghatározott struktúra általánosításának, úgy az itt bevezetett oszthatósági fogalom is tekinthető az egész számokon értelmezett oszthatóság általánosításának.

Valóban, tetszőleges $D$ integritástartomány tetszőleges $a,b,c,d$ elemeire teljesülnek a következő tulajdonságok, (melyek az egész számok esetén is teljesülnek az oszthatóságra):

• $a|a$ (reflexivitás)
• $a|b$ és $b|c$ esetén $a|c$ (tranzitivitás)
• $a|b$ és $a|c$ esetén $a|b+c$ és $a|b-c$
• $a|b$ és $c|d$ esetén $ac|bd$
• $1|a$ és $a|0$ a $D$ bármely $a$ elemére
• $ac|bc$ és $c0$-tól különböző esetén $a|b$

• Tetszőleges integritástartományokban is érvényes (a nullosztómentesség miatt), hogy (0-val jelölve a gyűrű nullelemét) $0|a$ akkor és csak akkor teljesül, ha $a=0$.

Ahogyan az egész számok példája is mutatja, egy integritástartományon az osztást műveletként bevezetni nem feltétlenül egyszerű (a struktúra bővítése nélkül), mert előfordulhat, hogy az $a\mathbf {x} =b$-nek nincs is megoldása, vagy több megoldása is van $x$-re (rögzített $a$ és $b$ mellett), így az esetleges $a/b$ jel nem jelölné az integritástartomány egy egyértelmű elemét.