Számosság

A halmazelméletben a számosság fogalma a „halmazok elemszámának” az általánosítása a véges (azaz véges számosságú) halmazokról a végtelen (azaz végtelen számosságú) halmazokra. Véges halmazok esetében a számosság megegyezik tehát a halmaz elemeinek a számával, amely természetes szám, beleértve a nullát is, s ez az üres halmaz elemszámának felel meg. A halmazok számosságának a jelölésére is ugyanazt a jelölést használjuk, mint a véges halmazok esetén a halmazok elemszámának a jelölésére, azaz tetszőleges $H$ halmaz számosságának vagy kardinális számának a jele: $|H|$.

Számosságok relációi

Egyenlőség

Legyen $A,B$ két tetszőleges halmaz. Akkor mondjuk, hogy az $A$ és $B$ halmazok ekvivalensek (vagy más szóval egyenlő számosságúak), ha létezik $A\to B$ bijektív leképezés.

Megjegyzés: A halmazok ekvivalenciája halmazok tetszés szerinti halmazában ekvivalenciareláció.

Kisebb-nagyobb reláció

Legyen $A,B$ két tetszőleges halmaz. Akkor mondjuk, hogy $|A|\leq |B|$, ha létezik $f:A\to B$ injektív leképezés, ami $A$ minden eleméhez $B$ más-más elemét rendeli, azaz $A$ ekvivalens $B$ egy részhalmazával. Ha létezik ilyen injektív leképezés, de $A$ $B$-vel magával már nem ekvivalens, azaz nincs megfelelő bijektív leképezés, akkor $B$ számossága nagyobb, mint $A$ számossága. Jele: $|A|<|B|$.

Cantor-Bernstein-tétel

Belátható a következő (végtelen halmazok esetében nem triviális) tétel:

Ha $|A|\geq |B|$ és $|A|\leq |B|$, akkor $|A|=|B|\,$.

Alternatív megfogalmazás: Ha az $A\,$ és $B\,$ halmazok között léteznek $f:A\to B$ és $g:B\to A$ injektív leképezések, akkor létezik egy $h:A\to B$ injektív ráképezés (bijekció) is.

Azaz, ha létezik olyan $f\,$ függvény, ami az $A\,$ halmaz elemeihez a $B\,$ halmaz különböző elemeit rendeli, és egy $g\,$ függvény, ami $B\,$ elemeihez $A\,$ különböző elemeit rendeli, akkor létezik olyan $h\,$ függvény is, mely $A\;$ és $B\,$ elemei között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesít.

A tétel szemléletesen értelmezve azt jelenti, hogy a halmazok számosságai a rendezési (kisebb-nagyobb) relációjukra nézve láncot alkotnak (a számosságok rendezése trichotom jellegű), azaz ha a és b halmazok (nem feltétlenül finit) elemszámai, akkor az a<b, a=b és a>b lehetőségek közül pontosan egy teljesül.

Megszámlálható halmaz

A véges halmazokat és a megszámlálhatóan végtelen halmazokat megszámlálható halmazoknak nevezzük.

Véges halmaz

Azt mondjuk, hogy egy halmaz véges, ha nem létezik olyan valódi részhalmaza, amellyel ekvivalens.

Megjegyzés. A véges halmazok fenti definíciója ekvivalens a következő, a természetes szám fogalmát is használó definícióval: Tetszőleges $A$ halmazt véges halmaznak nevezünk, ha valamely $n\in \mathbb {N}$ természetes számra létezik $\{0,...,n-1\}\to A$ bijekció, beleértve az üres halmazt is $n=0$ esetén.

(Vagy másképpen: $A$ véges halmaz, ha létezik $n$ természetes szám és $b:n\to A$ bijekció, ahol $n$ Neumann-féle halmazelméleti definíciója $0=\emptyset ,1=\{0\},2=\{0,1\},\dots$ )

Példák

• Legyen $A=\{1,3,7,21\}$. Ekkor $|A|=4$.
• A $H$ véges halmaz hatványhalmazának a számossága $2^{|H|}$.

Megszámlálhatóan végtelen halmaz

Azt mondjuk, hogy a $H$ halmaz megszámlálhatóan végtelen, ha létezik $H\to \mathbb {N}$ bijekció, ahol $\mathbb {N}$ a természetes számok halmaza.

Következmény

A természetes számokkal való bijekció pont azt jelenti, hogy ezek a halmazok sorbarendezhetőek. (Hiszen minden elemhez egy-egy sorszámot rendelünk.) A természetes számok halmazának, illetve a megszámlálhatóan végtelen halmazoknak a számosságát szokásosan $\aleph _{0}$ (e. "alef null") jelöli. Ez a legkisebb végtelen számosság (ezért is a nulla index). Ezzel összefüggésben, a halmazelmélet legszokványosabb felépítésében (ZFC-axiómarendszer) igaz az az állítás, hogy tetszőleges végtelen halmaznak van $\aleph _{0}$ számosságú részhalmaza. Mellesleg, ez más axiómarendszerekben (például az ún. ZFU) nem teljesül

Példák

• Az egész számok halmaza megszámlálható, mivel számossága egyenlő a természetes számok számosságával. Ezt könnyű belátni, hiszen legyen a leképező függvényünk a következő: $f(x)=\left\{{\begin{array}{ll}2x&(x\geq 0)\\-2x-1&(x<0)\end{array}}\right.$

Azaz minden nemnegatív számhoz rendeljük a páros számokat és minden negatívhoz a páratlanokat. Ez egy jó példa arra, hogy végtelen halmazok esetében lehetséges, hogy egy halmaz és annak egy valódi részhalmaza egyenlő számosságú.

• A racionális számok halmaza ($\mathbb {Q}$) megszámlálhatóan végtelen.

Néhány idekapcsolódó egyszerű tétel bizonyítás nélkül

• Ha A megszámlálható és a tőle diszjunkt B halmaz véges, akkor $A\cup B$ is megszámlálható.
• A diszjunkt A, B halmazok egyesítésének s számossága csak A és B számosságától függ, vagyis ha A és B helyére a velük egyenlő számosságú A’, ill. B’ halmazokat tesszük úgy, hogy A’ és B’ diszjunktak, akkor utóbbiak egyesítésének a számossága is s lesz.
• Ha véges sok (mondjuk k darab) diszjunkt A_i halmazunk van és mindegyik megszámlálható, akkor $A=\bigcup \limits _{i=1}^{k}A_{i}$ is megszámlálható.
• Megszámlálható sok diszjunkt A_i halmazunk van és mindegyik megszámlálható, akkor az egyesítésük, vagyis $\bigcup \limits _{i=1}^{\infty }A_{i}$ halmaz is megszámlálható.
• $\mathbb {N}$ összes véges részhalmazainak a halmaza is megszámlálható.

Kontinuum halmaz

Azt mondjuk, hogy a $H$ halmaz kontinuum számosságú, ha létezik $H\to \mathbb {R}$ bijekció, ahol $\mathbb {R}$ a valós számok halmaza.

Példák

A "legegyszerűbb" ilyen halmaz a [0,1] zárt intervallumba tartozó valós számok halmaza. Ennek számossága kontinuum. Lássuk ezt be: Ez a |H| számosság legalább megszámlálhatóan végtelen (hisz H tartalmazza például a nyilvánvalóan megszámlálhatóan végtelen $\{{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},...\}$ részhalmazt). Indirekt tegyük fel, hogy H megszámlálhatóan végtelen, vagyis elemeit valamilyen (v₁, v₂,…) sorrendbe rendezhetjük. Minden ilyen v_i egy 0 és 1 közötti valós szám, felírható tehát végtelen tizedes törtként 0,v_i1v_i2v_i3… alakban. (Ez a felírás nem egyértelmű, pl.: 0,5000 = 0,49999…. Ezért most az egyértelműség kedvéért zárjuk ki azt a felírási módot, ahol egy idő után csupa kilences következik.) Az indirekt feltevés szerint tehát a:

0,v₁₁v₁₂v₁₃…

0,v₂₁v₂₂v₂₃…

0,v₃₁v₃₂v₃₃…

…

sorozat H minden elemét tartalmazná. A táblázat „átlója” mentén végighaladva készítsünk egy olyan w valós számot, melynek w=0,w₁w₂w₃… tizedestört alakjához úgy jutunk, hogy ha v_ii = 1 volt, akkor legyen w_i = 2, ha pedig v_ii ≠ 1 volt, akkor legyen w_i = 1. Ez a w szám biztos nem szerepelhetett a fenti táblázatban, hisz bármely j-re elmondható, hogy v_j szám j-edik tizedesjegye különbözik a w szám j-edik tizedesjegyétől. Mivel így nem minden 0 és 1 közötti valós szám szerepel a felsorolásban, ellentmondásra jutunk, tehát |H| nem lehet megszámlálható.

Néhány idekapcsolódó egyszerű tétel bizonyítás nélkül

• Legyen A egy véges vagy megszámlálhatóan végtelen halmaz, B pedig egy tőle diszjunkt, kontinuum számosságú halmaz. Ekkor $|A\cup B|=|B|$.
• Megszámlálhatóan végtelen halmaz hatványhalmaza épp kontinuum számosságú.

Megjegyzés

• Struktúra számosságán a struktúra alaphalmazának számosságát értjük.

Lásd még

• Mérhető számosság
• Kontinuumhipotézis
• Cantor-tétel
• Számossági adaptációs hatás

Hivatkozások

• Rédei László: Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp. (1954)
• Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
• Hajnal András, Hamburger Péter: Halmazelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 3. kiadás, (1994) ISBN 963-18-5998-3