Integritástartomány

A matematikában a kommutatív, zérusosztómentes gyűrűket integritástartományoknak vagy integritási tartományoknak nevezzük.

Részletesebben ez azt jelenti, hogy az integritástartomány egy olyan struktúra, amelyben definiálva van két kétváltozós művelet, nevezzük ezeket mondjuk összeadásnak és szorzásnak, amelyek asszociatívak, kommutatívak, ahol mind a két műveletnek létezik egységeleme a struktúrában, továbbá a szorzás disztributív az összeadásra nézve és zérusosztómentes, az összeadás pedig invertálható. A szakirodalomban egyes cikkek még feltételeznek egy egységelemet is, ez azonban nem szerepel a definícióban.

Az integritási tartományokban lehet nem nulla elemmel egyszerűsíteni. Így például az ab = ac egyenletből következik, hogy b = c.

Példák

• Az egész számok halmaza a szokásos összeadás és szorzás műveletekkel.

Definíciók

• Integritási tartománynak nevezünk egy olyan nem-zérusgyűrűt, melyben a nemzérus elemek szorzata nem nulla
• Integritási tartománynak nevezünk egy zérusosztó mentes nem-zérusgyűrűt
• Integritási tartománynak nevezünk egy olyan kommutatív gyűrűt, melyben a zérusideál {0} a főideál
• Integritási tartománynak nevezünk egy olyan gyűrűt, melyben a nemzérus elemek halmaza monoidot alkot a szorzással
• Integritási tartománynak nevezünk egy olyan gyűrűt, mely részgyűrűje egy testnek (Ebből következik, hogy nem-zérus kommutatív gyűrű)

Karakterisztika és homomorfizmusok

Egy integritási tartomány karakterisztikája vagy végtelen, vagy prím.

Hányadostest

Minden R integritástartomány (részgyűrűként) testbe ágyazható oly módon, hogy a test minden eleme $ab^{-1}$ alakú alkalmas $a,b\in \mathbb {R}$-re. Az így kapott test, a hányadostest, egyértelmű. Az eljárás annak általánosítása, ahogy a racionális számokat konstruáljuk meg az egész számokból.

Hivatkozások

• Rédei László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
• Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
• Járai Antal, Bevezetés a matematikába, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest (2006)