Hatványtörvény

A matematikában a hatványtörvény két mennyiség közötti kapcsolatról szól.

Ha egy esemény változása valamely jellemzőjének hatványával arányos, akkor azt mondjuk, hogy a hatványtörvény szerint viselkedik.

Egy hatványtörvény ábrázolás

Az ábrán egy példa látható a hatványtörvényre, amely mutatja a lakosság rang szerinti eloszlását. Jobb felé hosszú farok látható, ez a lakosság többsége, és bal oldalon azon kevesek, akik dominálnak (80-20-as törvényként is ismert).

Például ha egy város populációja a lakossága számának hatványa szerint változik, ekkor a hatványtörvény szerint történik a változás.

Bizonyítható, hogy számos fizikai, biológiai és emberalkotta jelenség a hatványtörvény szerint működik, mint például a földrengések mérete, a Hold kráterei, a Napkitörések, legtöbb nyelvben a szavak előfordulási gyakorisága, családi nevek előfordulása, háborúk mérete, és sok más mennyiség.

A hatványtörvény tulajdonságai

Skála-invariancia

A hatványtörvény fő jellemzője, ami érdekessé teszi, a skálainvariancia. Tekintsük a $f(x)=ax^{k}$ függvényt. Ha megváltoztatjuk az $x$ jellemzőt egy $c$ konstanssal, akkor az eredeti függvényt ez csak arányaiban módosítja, azaz:

$f(cx)=a(cx)^{k}=c^{k}f(x)\propto f(x).\!$

vagyis a $c$ csak megszorozza az eredeti összefüggést, egy $c^{k}$ konstanssal. Ezért egy hatványtörvény szerint viselkedő összefüggés egymástól csak egy adott skálatényezővel különbözik.

Ez a viselkedés produkálja azt a lineáris összefüggést, amikor vesszük $f(x)$ és $x$ logaritmusait, és ezért a log-log ábrázolásban az egyenes vonalat, a hatványtörvény aláírásának is szokták hívni.

Valós adatok esetén ez az egyenesség szükségszerű, de nem elégséges feltétel ahhoz, hogy az adat a hatványtörvényt követi.

Valójában, több módon is lehet olyan adatokat generálni, melyek ‘mímelik’ ezt az ‘aláírás’ viselkedést, de az aszimptotikus határoknál nem valódi hatványtörvények ( például, ha lognormális eloszlás szerint generálunk adatokat, stb.).

Ezért a statisztikai kutatásban aktív terület a hatványtörvény megállapítása, érvényesítése.

Hatványtörvény összefüggések

Általánosságban a hatványtörvény a fenti polinom formáját követi, és széles körben található a matematikában és egyéb tudományokban.

Mindazonáltal, nem minden polinom függvény hatványtörvény, mert nem minden polinom rendelkezik a skála invariancia tulajdonságával.

Tipikusan, egyváltozós polinomok felelnek meg a hatványtörvénynek, és ezt explicit módon használják természeti folyamatok leírására.

Például, az alometria skála törvénye a legjobban ismert hatványtörvény a biológiában. Ebben a kontextusban, a $o(x^{k})$ kifejezés a legtipikusabb kifejezés, mely kiegészítve a $\varepsilon$ szórási/eltérési taggal, reprezentálja számos megfigyelés bizonytalanságát (mérési vagy mintavételi hibák), vagy egy egyszerű módot nyújt a hatványtörvénytől történő eltérés észlelésére:

$y=ax^{k}+\varepsilon .\!$

A tudományos érdeklődés a hatványtörvény iránt részben abból származik, hogy megkönnyíti bizonyos általános mechanizmusok megértését.

A hatványtörvény egyes adatmennyiségnél, egy speciális mechanizmusra utal, ami alapjául szolgálhat a kérdéses adatok természet jelenségként való értékelésének, és jelezhet egy mélyebb összefüggést más, nem közvetlenül kapcsolódó rendszerekkel.

A mindenhol jelenlevő hatványtörvény a fizikában részben a fizikai korlátok miatt van, míg komplex rendszereknél gyakran jelzi a sztochasztikus folyamatok specifikus hierarchiáját.

Néhány figyelemre méltó példa: a Gutenberg-Ricter féle törvény a földrengések méretére vonatkozóan, a Pareto-eloszlás, a jövedelmek eloszlásáról, vagy a fraktálok strukturális azonossága, stb.

A hatványtörvény eredetének kutatása aktív téma a fizikában, számítástechnikában, nyelvészetben, geofizikában, neurotudományokban, szociológiában, gazdaságtanban, és sok más tudományágban.

A hatványtörvény iránti érdeklődés többnyire a valószínűség eloszlások tanulmányozásából ered. Ismert, hogy az eloszlások nagy része követi a hatványtörvényt, de legalább is a felső faroknál (a nagy mennyiségeknél).

Ezen nagy mennyiségek viselkedése kapcsolódik a nagy eltérések elméletéhez (más néven: extrémérték-elmélet), mely az extrém ritka eseményeket tanulmányozza, mint például egy tőzsdekrach és nagy természeti katasztrófák.

Példák a hatványtörvényre

• Stevens-féle hatványtörvény a pszichofizikában
• Stefan–Boltzmann-törvény
• FET és Vákuumcsővek esetében a bemeneti feszültség – kimeneti áram görbék
• van der Waals erők modellje
• Az egyszerű harmonikus mozgás
• Kepler harmadik törvénye
• M-sigma összefüggés
• Kleiber-törvény
• Taylor-törvény (ekológia)
• Tér-kocka törvény (a felület aránya a tömeghez képest)
• Fraktálok
• Pareto-elv
• Zipf-eloszlás
• Biztonságos működési terület félvezetőkben (maximális feszültség és áram)
• Konstrukciós törvény

Változatok

Tört hatványtörvény

A tört hatványtörvény határértékkel definiálható:

$f(x)\propto x^{\alpha _{1}}$ for $x<x_{\text{th}}$,

$f(x)\propto x_{\text{th}}^{\alpha _{1}-\alpha _{2}}x^{\alpha _{2}}$ for $x>x_{\text{th}}$.

Hatványtörvény exponenciális lezárással

Ebben az esteben a hatványtörvény egy exponenciális függvénnyel van megszorozva:

$f(x)\propto x^{\alpha }e^{\beta x}.$

Hajlított hatványtörvény

$f(x)\propto x^{\alpha +\beta x}$

Grafikai módszerek a hatványtörvény azonosítására

Több módszer is ismert a hatványtörvény grafikai azonosítására.

A legtöbbet használt módszer a véletlenszerű mintákból készített Pareto Q-Q ábrázolás (Q, kvantilist jelent). Feltételezzük, hogy a véletlenszerűen vett minták egy valószínűségi eloszlásból származnak, és végül is azt szeretnénk megtudni, hogy az eloszlás farok része megfelel a hatványtörvénynek (más szavakkal: az eloszlásnak van-e Pareto farok része).

Egy másik grafikus módszer a reziduális kvantilis függvények alkalmazása.

A log-log típusú ábrázolás is alkalmas a hatványtörvény grafikus felismerésére.Ennek a módszernek a hátránya, hogy nagy mennyiségű diszkrét adatra van szükség.

Irodalom

• Clauset, A., Shalizi, C. R. and Newman, M. E. J: Power-law distributions in empirical data. (hely nélkül): SIAM Review 51 (4):. 2009. 661–703. o.  
• Stumpf, M.P.H. and Porter, M.A: Critical Truths about Power Laws. (hely nélkül): Science 2012. 2000. 335., 665–6. o.  
• Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. (hely nélkül): Typotex Kiadó. 2009. 109–113. o. ISBN 978-963-279-026-8  

Kapcsolódó szócikkek

• Pareto-eloszlás
• Skálaparaméter
• Alakparaméter
• Sűrűségfüggvény
• Kvantilisek
• Eloszlásfüggvény
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika
• Extrémérték-elmélet
• Zipf-eloszlás
• http://web-graph.org/
• http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/27176-log-binning-of-data
• https://web.archive.org/web/20121103085428/http://masi.cscs.lsa.umich.edu/~crshalizi/weblog/491.html

Források

Ez a szócikk részben vagy egészben a Power law című angol Wikipédia-szócikk ezen változatának fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.