Banach-tér
A Banach-tér a modern analízis egyik alapvető fogalma. Teljes normált vektorteret értünk alatta, vagyis olyan vektorteret, mely a normából származtatott metrikára nézve teljes.
A pontos definíció tehát a következő:
A vektortér Banach-tér pontosan akkor, ha értelmezett rajta egy ||.|| norma, melyre teljesül, hogy a belőle összefüggéssel származtatott távolságra nézve a tér teljes, vagyis a térben minden Cauchy-sorozat konvergens.
Tartalomjegyzék
Elnevezés[szerkesztés]
A Banach-tér elnevezés Stefan Banach lengyel matematikus nevét őrzi aki 1932-es monográfiájában (Théorie des opérations linéaires, Varsó) tárgyalta először részletesen és rendszeresen a teljes normált vektorterek tulajdonságait. A Banach-terek fogalmának egyébként magyar vonatkozása is van: a Banach-terekkel foglalkozó szakemberek a Banach-terek prototípusának az elsőként Riesz Frigyes magyar matematikus által tárgyalt tereket szokták tekinteni. A Banach-tér tehát tekinthető úgy, mint az terek absztrahálásából született fogalom.
Példák[szerkesztés]
1. Az ( ) terek olyan sorozatokból álló normált terek, mely elemeinek vektorként való értelmezésében annak p-normája véges. Ezen sorozatokból álló halmazok Banach-terek.
2. Az adott intervallumon folytonos függvények tere Banach-tér a szuprémum normával.
3. Az adott intervallumon korlátos változású függvények tere Banach-tér.
4. Az -dimenziós euklideszi terek Banach-terek. Így természetesen a valós számok R halmaza is Banach-teret alkot.
5. A komplex számokból képzett -dimenziós vektorok Cn tere is Banach-teret alkot.
Néhány fontos tulajdonság[szerkesztés]
A Banach-terek tekinthetők a Hilbert-terek általánosításának, mivel minden Hilbert-tér egyben Banach-tér is.
Megfordítva: egy Banach-tér pontosan akkor Hilbert-tér (vagyis pontosan akkor származtatható normája valamely skalárszorzatból), ha a tér feletti norma teljesíti a paralelogramma-azonosságot (ez a Jordan–Neumann-tétel).
Véges dimenziós normált vektorterek mind Banach-terek, hiszen az azonos dimenziójúak topologikusan izomorfak (véges dimenziós térben minden norma ekvivalens).
Banach-térbe ható korlátos lineáris transzformációk maguk is Banach-teret alkotnak.
Források[szerkesztés]
- Járai Antal (2002): Mérték és integrál. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest.
- Kérchy László (1997): Bevezetés a véges dimenziós vektorterek elméletébe. Polygon, Szeged.
- Mikolás Miklós (1978): Valós függvénytan és ortogonális sorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
- Szőkefalvi-Nagy Béla (1972): Valós függvények és függvénysorok. Tankönyvkiadó, Budapest.
- Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből. 148. old. Typotex Kiadó, 2009. ISBN 978-963-279-026-8