Euklideszi reláció
Ugrás a navigációhoz
Ugrás a kereséshez
Egy kétváltozós relációt akkor nevezünk euklideszi relációnak,[1] ha a relációk mindig egyfajta háromszöget alkotnak; ha egy elem relációban áll két másikkal, akkor azok is (valamilyen irányú) relációban kell álljanak egymással.
Tartalomjegyzék
Definíció[szerkesztés]
Az halmazon értelmezett reláció euklideszi, ha bármely esetén valahányszor és egyszerre teljesül, mindannyiszor is teljesül.
Általában véve az elsőrendű logika nyelvén:
- euklideszi
„ | Amik ugyanazzal egyenlők, egymással is egyenlők. | ” |
– Eukleidész Elemek, i. m. 47. old. |
Példák[szerkesztés]
- az egyenesek párhuzamossága (mert ha az egyenes párhuzamos az egyenessel, az egyenes pedig párhuzamos a egyenessel, akkor az egyenes szükségszerűen párhuzamos a egyenessel is),
- családban a (nem fél)testvér-reláció (mert a párhuzamossághoz hasonlóan, bár senki nem testvére magának, az ember testvérei testvérei egymásnak.)
Nem ilyen
- az emberek között a „fölmenő rokona” reláció (mert pl. egy személy fölmenő rokona az unokájának és a lányának is, azonban az unokája nem felmenője a lányának).
- a halmazok között a tartalmazási reláció,
- a pozitív egész számok között az oszthatóság (mert pl. osztja -et és -ot is, de nem osztja -ot),
- az emberek között az „ismerik egymást” reláció (mert az ember nem minden ismerőse ismeri egymást).
További példák euklideszi relációkra[szerkesztés]
- minden ekvivalenciareláció, úgymint:
- halmazokon az ekvivalencia, azaz számosságazonosság;
- egész számokon az azonos paritás, vagy általánosabban az azonos maradékosztályba tartozás (mivel ezek ekvivalenciarelációk),
- egy sík vagy a tér egyenesein a párhuzamosság
- a tér síkjain a párhuzamosság
Viszonya más relációkhoz[szerkesztés]
- Egy reláció euklideszi tulajdonsága és tranzitivitása bár hasonlónak tűnik, önmagában egyik sem következik a másikból.
- Egy szimmetrikus reláció már pontosan akkor euklideszi, ha tranzitív.
- Egy reflexív reláció ha euklideszi is, akkor tranzitív és szimmetrikus is, azaz ekvivalenciareláció.
Jegyzetek és források[szerkesztés]
Jegyzetek[szerkesztés]
- ↑ A matematikus nevének szabatos átírása Eukleidész volna, tehát a szerkezet eukleidészi reláció, de ebben a kifejezésben hagyományosan rögzült euklideszi alakban (lásd például Püthagorasz, de Pitagorasz-tétel stb.).
Források[szerkesztés]
Eukleidész. Elemek, Első könyv 1. axióma. Gondolat (1983)