Fourier-transzformáció

Legyen az $f\,$ függvény Lebesgue-integrálható az $I\,$ intervallumon. Ekkor $f\,$ Fourier-transzformáltja az

$\mathrm {F} f=\int _{I}f(t)e^{-2\pi ixt}dt\,$

függvény.

A Fourier-transzformáció kiterjeszthető a négyzetesen Lebesgue-integrálható függvények terére:

$\mathrm {F} f=\lim _{n\rightarrow \infty }\int _{I}f_{n}(t)e^{-2\pi ixt}dt\,$,

ahol az összes $f_{n}\,$ függvény integrálható. Ha az $I\,$ intervallum végtelen, akkor ez egy valódi kiterjesztés.

A Fourier-transzformáció disztribúciókra is definiálható.

Tulajdonságai

• A Fourier-transzformáció korlátos lineáris operátor.
• Unitér

Vezessük be a következő műveleteket:

$(\tau _{h}f)(x)=f(x+h)\,$ transzláció

$(\nu _{h}f)(x)=hf(x)\,$ moduláció

$(\delta _{h}f)(x)=f(hx)\,$ dilatáció

Ezek a műveletek a következő kapcsolatban vannak a Fourier-transzformációval:

$F\tau _{h}f(x)=\nu _{h}Ff(x)\,$

$F\nu _{h}f(x)=\tau _{-h}Ff(x)\,$

$F\delta _{h}f(x)={\frac {1}{h}}\delta _{\frac {1}{h}}Ff(x)\,$

Jelölje $*\,$ a konvolúciót. Ekkor

$F(f*g)=Ff\cdot Fg\,$

Legyen $Mf=2\pi itf(t)\,$ és jelölje $f\,$ deriváltját $Df\,$. Ha $f\,$ és $Mf\,$ is integrálható, akkor $Ff\,$ mindenütt differenciálható, és

$DFf=-FMf\,$

$FDf=MFf\,$

A Fourier-transzformáció invertálható:

$\mathrm {F} ^{-1}f=\int _{I}f(t)e^{2\pi ixt}dt\,$

Fourier-sorok

A periodikus függvények Fourier-sorba fejthetők:

$f(t)=\sum _{k=-\infty }^{\infty }c_{k}e^{-2\pi i\nu _{0}k}$

ahol $\nu _{0}\,$ az alapfrekvencia, a periódus reciproka.

• A differenciálható függvények Fourier-sora pontonként konvergens, ami nem igaz minden integrálható függvényre (Kolmogorov konstrukciója).
• Sőt, van folytonos függvény, aminek Fourier-sora periódusonként egy pontban divergál (Reiman).
• A Dirichlet-Jordan konvergenciatétel szerint az $f(x)\,$ korlátos változású függvény Fourier-sora minden $x\,$ pontban $f(x)\,$-beli jobb és bal oldali határértékének számtani közepéhez tart.
• A négyzetesen integrálható függvények Fourier-sora normában konvergens. Ez a Riesz-Fischer-tétel közvetlen következménye.

Példák

• Háromszögjel:

A háromszögjel különböző közelítései

A háromszögjel fázisszögtől függően szinuszos vagy koszinuszos kifejezésekkel közelíthető. A képletekben $h\,$ jelöli az amplitúdót:

${\begin{array}{rl}f(t)=&-{\frac {8h}{\pi ^{2}}}\left[{\cos {\omega t}+{\frac {1}{3^{2}}}\cos {3\omega t}+{\frac {1}{5^{2}}}\cos {5\omega t}+\cdots }\right]\\[.6em]=&-{\frac {8h}{\pi ^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\dfrac {\cos((2k-1)\omega t)}{(2k-1)^{2}}}\end{array}}$

${\begin{array}{rl}f(t)=&{\frac {8h}{\pi ^{2}}}\left[{\sin {\omega t}-{\frac {1}{3^{2}}}\sin {3\omega t}+{\frac {1}{5^{2}}}\sin {5\omega t}\mp \cdots }\right]\\[.6em]=&{\frac {8h}{\pi ^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\dfrac {\sin((2k-1)\omega t)}{(2k-1)^{2}}}\end{array}}$

• Négyszögjel:

A négyszögjel különböző közelítései

Hasonlóan a négyszögjel:

${\begin{array}{rl}f(t)=&{\frac {4h}{\pi }}\left[{\sin {\omega t}+{\frac {1}{3}}\sin {3\omega t}+{\frac {1}{5}}\sin {5\omega t}+\cdots }\right]\\[.6em]=&{\frac {4h}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\dfrac {\sin \left((2k-1)\omega t\right)}{2k-1}}\end{array}}$

${\begin{array}{rl}f(t)=&{\frac {4h}{\pi }}\left[{\cos {\omega t}-{\frac {1}{3}}\cos {3\omega t}+{\frac {1}{5}}\cos {5\omega t}\mp \ldots }\right]\\[.6em]=&{\frac {4h}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\dfrac {\cos \left((2k-1)\omega t\right)}{2k-1}}\end{array}}$

• Fűrészfogjel: (növekvő)

A fűrészfogjel különböző közelítései

Ugyanígy közelíthetők szinuszos kifejezésekkel a pontra szimmetrikus függvények. Itt a váltakozó előjelek fáziseltolódást eredményeznek:

${\begin{array}{rl}f(t)=&-{\frac {2h}{\pi }}\left[{\sin {\omega t}-{\frac {1}{2}}\sin {2\omega t}+{\frac {1}{3}}\sin {3\omega t}\mp \cdots }\right]\\[.6em]=&-{\frac {2h}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\dfrac {\sin k\omega t}{k}}\end{array}}$

• Szinuszjel:

A szinuszjel abszolút értékének különböző közelítései

${\begin{array}{rl}f(t)=&h\left|\sin {\omega t}\right|\\[.6em]=&{\frac {4h}{\pi }}\left[{\frac {1}{2}}-{\frac {\cos {2\omega t}}{3}}-{\frac {\cos {4\omega t}}{15}}-{\frac {\cos {6\omega t}}{35}}-\cdots \right]\\[.6em]=&{\frac {2h}{\pi }}-{\frac {4h}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\dfrac {\cos {2k\omega t}}{(2k)^{2}-1}}\end{array}}$

Diszkrét Fourier-transzformáció

A Fourier-transzformációnak diszkrét változata is van:

$\mathrm {F} f=\sum _{-\infty }^{\infty }f(n)e^{-2\pi ixn}$

Sokszor ezt használják a gyakorlatban, mert csak véges sok mintavételezés lehetséges. A függvény értelmezési tartományáról felteszik, hogy diszkrét és véges. Nem tévesztendő össze a Fourier-sorral.

Gyors Fourier-transzformáció

A gyors Fourier-transzformáció (FFT = Fast Fourier Transform) a diszkrét Fourier-transzformált kiszámítására szolgál. Ehhez $N=2^{n}\,$ egyenközű mintavétel szükséges, ahol $n\geq 6$. Műveletigénye $N\log N\,$. A mintavételezés frekvenciáját úgy kell választani, hogy legalább kétszer akkora legyen, mint a maximális feldolgozandó frekvencia, különben torz kép jön létre. Több perióduson át kell mintavételezni úgy, hogy a mintavételezés máshova essen az egyes periódusokban. Például, ha a jel frekvenciája 1 kHz, akkor jobb 2100 Hz-cel mintavételezni, mint 2000-rel, és még jobb mondjuk 4100 Hz-cel, vagy még ennél is nagyobb frekvenciával.

A sor:

$y(\omega )={\frac {T}{\sqrt {2\pi }}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }x_{n}e^{-i\omega t_{n}}$

ahol

$x_{n}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\pi F}^{\pi F}y_{n}e^{i\omega t_{n}}d\omega$

Algoritmus

A gyors Fourier-transzformáció egy rekurzív algoritmus, ami az Oszd meg és uralkodj! elvén működik.

Legelőször is idézzük fel, hogy a $2n\,$ pontú diszkrét Fourier-transzformáció a következőképpen definiálható:

$f_{j}=\sum _{k=0}^{2n-1}x_{k}\;e^{-{\frac {2\pi i}{2n}}jk}\qquad j=0,\dots ,2n-1.$

Legyenek a páros indexű együtthatók

$x'_{0}=x_{0},\ x'_{1}=x_{2},\ ...,\ x'_{n-1}=x_{2n-2}\,$

és ezek diszkrét Fourier-transzformáltja

$f'_{0},\ ...,\ f'_{n-1}\,$;

hasonlóan, jelölje a páratlan indexű együtthatókat

$x''_{0}=x_{1},\ x''_{1}=x_{3},\ ...,\ x''_{n-1}=x_{2n-1}\,$

és legyen ezek diszkrét Fourier-transzformáltja

$f''_{0},\ ...,\ f''_{n-1}\,$.

Ekkor:

${\begin{matrix}f_{j}&=&\sum _{k=0}^{n-1}x_{2k}e^{-{\frac {2\pi i}{2n}}j(2k)}+\sum _{k=0}^{n-1}x_{2k+1}e^{-{\frac {2\pi i}{2n}}j(2k+1)}\\\\&=&\sum _{k=0}^{n-1}x'_{k}e^{-{\frac {2\pi i}{n}}jk}+e^{-{\frac {\pi i}{n}}j}\sum _{k=0}^{n-1}x''_{k}e^{-{\frac {2\pi i}{n}}jk}\\\\&=&\left\{{\begin{matrix}f'_{j}+e^{-{\frac {\pi i}{n}}j}f''_{j}&{\mbox{ha }}j<n\\\\f'_{j-n}-e^{-{\frac {\pi i}{n}}(j-n)}f''_{j-n}&{\mbox{ha }}j\geq n\end{matrix}}\right.\end{matrix}}$

Pszeudokód

Az algoritmus pszeudokódja:

$\mathrm {function} \ \operatorname {fft} (n,{\vec {f}}):$

$\mathrm {if} \ (n=1)$

$\mathrm {return} \ {\vec {f}}$

$\mathrm {else} \$

${\vec {g}}=\operatorname {fft} \left({\tfrac {n}{2}},(f_{0},f_{2},\ldots ,f_{n-2})\right)$

${\vec {u}}=\operatorname {fft} \left({\tfrac {n}{2}},(f_{1},f_{3},\ldots ,f_{n-1})\right)$

$\mathrm {for} \ k=0\ \mathrm {to} \ {\tfrac {n}{2}}-1$

${\begin{aligned}c_{k}=g_{k}+u_{k}\cdot e^{-2\pi ik/n}\\c_{k+n/2}=g_{k}-u_{k}\cdot e^{-2\pi ik/n}\end{aligned}}$

$\mathrm {return} \ {\vec {c}}$

Alkalmazások

A Fourier-transzformációknak és a Fourier-soroknak számos alkalmazásuk van:

• a valószínűségszámítás, statisztika elméletében
• a jelfeldolgozásban
• a hang- és videotechnikában
• a rezgésanalízisben
• analóg áramkörök leírásában
• spektrométerekben
• differenciálegyenletek megoldásában
• távközlő rendszerekben
• az interferometrikus távcsövek (pl. ALMA) jelfeldolgozásában

Források

• S. Bochner, K. Chandrasekharan: Fourier Transforms. Princeton Book Comp. Publ., 2001, ISBN 0-691-09578-7.
• O. Föllinger, M. Kluwe: Laplace-, Fourier- und z-Transformation. Hüthig, 2003, ISBN 3-7785-2911-0.
• B. Lenze: Einführung in die Fourier-Analysis. Logos Verlag, Berlin 2000, ISBN 3-931216-46-2.
• M. J. Lighthill: Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-09128-4.
• A. Papoulis: The Fourier Integral and Its Applications. McGraw-Hill, New York 1962, ISBN 0-07-048447-3.
• E. M. Stein, R. Shakarchi: Fourier Analysis: An Introduction. Princeton University Press, Princeton 2003, ISBN 0-691-11384-X.
• James W. Cooley, John W. Tukey: An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series. In: Math. Comput. 19, 1965, S. 297–301.
• C. M. Rader: Discrete Fourier transforms when the number of data samples is prime. In: Proc. IEEE 56, 1107–1108 (1968).
• Leo I. Bluestein: A linear filtering approach to the computation of the discrete Fourier transform. In: Northeast Electronics Research and Engineering Meeting Record 10, 1968, S. 218-219.
• Georg Bruun: z-Transform DFT filters and FFTs. In: IEEE Trans. on Acoustics, Speech and Signal Processing (ASSP) 26, Nr. 1, 1978, S. 56-63.
• M. T. Heideman, D. H. Johnson, C. S. Burrus : Gauss and the History of the Fast Fourier Transform. In: Arch. Hist. Sc. 34, Nr. 3, 1985.
• Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. 3. Auflage. R. Oldenbourg Verlag, München/Wien 1999, ISBN 3-486-24145-1.
• E. Oran Brigham: FFT. Schnelle Fourier-Transformation. R. Oldenbourg Verlag, München/Wien 1995, ISBN 3-486-23177-4.
• Fourier-transzformáció FFT programmal
• Stoyan-Takó a Fourier-transzformációról
• Periódusanalízis
• A Fourier-transzformáció, társai és alkalmazásaik
• Fourier-transzformációs optikai spektroszkópia
• Frekvenciatartomány, Fourier-transzformáció, Fourier-sor, DFT, DTFT
• A Fourier-transzformáció rövid elmélete és gyakorlati alkalmazása
• Fourier-sorok, Fourier-transzformáció, egységimpulzus
• FFT Python