Legyen az
függvény Lebesgue-integrálható az
intervallumon. Ekkor
Fourier-transzformáltja az

függvény.
A Fourier-transzformáció kiterjeszthető a négyzetesen Lebesgue-integrálható függvények terére:
,
ahol az összes
függvény integrálható. Ha az
intervallum végtelen, akkor ez egy valódi kiterjesztés.
A Fourier-transzformáció disztribúciókra is definiálható.
Vezessük be a következő műveleteket:
transzláció
moduláció
dilatáció
Ezek a műveletek a következő kapcsolatban vannak a Fourier-transzformációval:



Jelölje
a konvolúciót. Ekkor

Legyen
és jelölje
deriváltját
. Ha
és
is integrálható, akkor
mindenütt differenciálható, és


A Fourier-transzformáció invertálható:

A periodikus függvények Fourier-sorba fejthetők:

ahol
az alapfrekvencia, a periódus reciproka.
- A differenciálható függvények Fourier-sora pontonként konvergens, ami nem igaz minden integrálható függvényre (Kolmogorov konstrukciója).
- Sőt, van folytonos függvény, aminek Fourier-sora periódusonként egy pontban divergál (Reiman).
- A Dirichlet-Jordan konvergenciatétel szerint az
korlátos változású függvény Fourier-sora minden
pontban
-beli jobb és bal oldali határértékének számtani közepéhez tart.
- A négyzetesen integrálható függvények Fourier-sora normában konvergens. Ez a Riesz-Fischer-tétel közvetlen következménye.
A háromszögjel különböző közelítései
A háromszögjel fázisszögtől függően szinuszos vagy koszinuszos kifejezésekkel közelíthető. A képletekben
jelöli az amplitúdót:
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}f(t)=&-{\frac {8h}{\pi ^{2}}}\left[{\cos {\omega t}+{\frac {1}{3^{2}}}\cos {3\omega t}+{\frac {1}{5^{2}}}\cos {5\omega t}+\cdots }\right]\\[.6em]=&-{\frac {8h}{\pi ^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\dfrac {\cos((2k-1)\omega t)}{(2k-1)^{2}}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cd25cf3cfe34b50c8be9d10448a74eb8b53352ef)
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}f(t)=&{\frac {8h}{\pi ^{2}}}\left[{\sin {\omega t}-{\frac {1}{3^{2}}}\sin {3\omega t}+{\frac {1}{5^{2}}}\sin {5\omega t}\mp \cdots }\right]\\[.6em]=&{\frac {8h}{\pi ^{2}}}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\dfrac {\sin((2k-1)\omega t)}{(2k-1)^{2}}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe51daef72f6697da12c75d7a5f645e5130c97bf)
A négyszögjel különböző közelítései
Hasonlóan a négyszögjel:
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}f(t)=&{\frac {4h}{\pi }}\left[{\sin {\omega t}+{\frac {1}{3}}\sin {3\omega t}+{\frac {1}{5}}\sin {5\omega t}+\cdots }\right]\\[.6em]=&{\frac {4h}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\dfrac {\sin \left((2k-1)\omega t\right)}{2k-1}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dd2a62a09b59fcdc151c061b85aef2eea86c4cf8)
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}f(t)=&{\frac {4h}{\pi }}\left[{\cos {\omega t}-{\frac {1}{3}}\cos {3\omega t}+{\frac {1}{5}}\cos {5\omega t}\mp \ldots }\right]\\[.6em]=&{\frac {4h}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\dfrac {\cos \left((2k-1)\omega t\right)}{2k-1}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5fbad29a41e1c698ce1fabf2a44f88d48352e4e)
A fűrészfogjel különböző közelítései
Ugyanígy közelíthetők szinuszos kifejezésekkel a pontra szimmetrikus függvények. Itt a váltakozó előjelek fáziseltolódást eredményeznek:
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}f(t)=&-{\frac {2h}{\pi }}\left[{\sin {\omega t}-{\frac {1}{2}}\sin {2\omega t}+{\frac {1}{3}}\sin {3\omega t}\mp \cdots }\right]\\[.6em]=&-{\frac {2h}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}{\dfrac {\sin k\omega t}{k}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fb927325b8fdb6ff1dd3b585816482c08ab7f2d)
A szinuszjel abszolút értékének különböző közelítései
![{\displaystyle {\begin{array}{rl}f(t)=&h\left|\sin {\omega t}\right|\\[.6em]=&{\frac {4h}{\pi }}\left[{\frac {1}{2}}-{\frac {\cos {2\omega t}}{3}}-{\frac {\cos {4\omega t}}{15}}-{\frac {\cos {6\omega t}}{35}}-\cdots \right]\\[.6em]=&{\frac {2h}{\pi }}-{\frac {4h}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\dfrac {\cos {2k\omega t}}{(2k)^{2}-1}}\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09695394229a67b632dccde772a2307506a63a8b)
Diszkrét Fourier-transzformáció[szerkesztés]
A Fourier-transzformációnak diszkrét változata is van:

Sokszor ezt használják a gyakorlatban, mert csak véges sok mintavételezés lehetséges. A függvény értelmezési tartományáról felteszik, hogy diszkrét és véges.
Nem tévesztendő össze a Fourier-sorral.
Gyors Fourier-transzformáció[szerkesztés]
A gyors Fourier-transzformáció (FFT = Fast Fourier Transform) a diszkrét Fourier-transzformált kiszámítására szolgál. Ehhez
egyenközű mintavétel szükséges, ahol
. Műveletigénye
. A mintavételezés frekvenciáját úgy kell választani, hogy legalább kétszer akkora legyen, mint a maximális feldolgozandó frekvencia, különben torz kép jön létre. Több perióduson át kell mintavételezni úgy, hogy a mintavételezés máshova essen az egyes periódusokban. Például, ha a jel frekvenciája 1 kHz, akkor jobb 2100 Hz-cel mintavételezni, mint 2000-rel, és még jobb mondjuk 4100 Hz-cel, vagy még ennél is nagyobb frekvenciával.
A sor:

ahol

A gyors Fourier-transzformáció egy rekurzív algoritmus, ami az Oszd meg és uralkodj! elvén működik.
Legelőször is idézzük fel, hogy a
pontú diszkrét Fourier-transzformáció a következőképpen definiálható:

Legyenek a páros indexű együtthatók

és ezek diszkrét Fourier-transzformáltja
;
hasonlóan, jelölje a páratlan indexű együtthatókat

és legyen ezek diszkrét Fourier-transzformáltja
.
Ekkor:

Az algoritmus pszeudokódja:








A Fourier-transzformációknak és a Fourier-soroknak számos alkalmazásuk van:
- a valószínűségszámítás, statisztika elméletében
- a jelfeldolgozásban
- a hang- és videotechnikában
- a rezgésanalízisben
- analóg áramkörök leírásában
- spektrométerekben
- differenciálegyenletek megoldásában
- távközlő rendszerekben
- az interferometrikus távcsövek (pl. ALMA) jelfeldolgozásában
- S. Bochner, K. Chandrasekharan: Fourier Transforms. Princeton Book Comp. Publ., 2001, ISBN 0-691-09578-7.
- O. Föllinger, M. Kluwe: Laplace-, Fourier- und z-Transformation. Hüthig, 2003, ISBN 3-7785-2911-0.
- B. Lenze: Einführung in die Fourier-Analysis. Logos Verlag, Berlin 2000, ISBN 3-931216-46-2.
- M. J. Lighthill: Introduction to Fourier Analysis and Generalised Functions. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0-521-09128-4.
- A. Papoulis: The Fourier Integral and Its Applications. McGraw-Hill, New York 1962, ISBN 0-07-048447-3.
- E. M. Stein, R. Shakarchi: Fourier Analysis: An Introduction. Princeton University Press, Princeton 2003, ISBN 0-691-11384-X.
- James W. Cooley, John W. Tukey: An algorithm for the machine calculation of complex Fourier series. In: Math. Comput. 19, 1965, S. 297–301.
- C. M. Rader: Discrete Fourier transforms when the number of data samples is prime. In: Proc. IEEE 56, 1107–1108 (1968).
- Leo I. Bluestein: A linear filtering approach to the computation of the discrete Fourier transform. In: Northeast Electronics Research and Engineering Meeting Record 10, 1968, S. 218-219.
- Georg Bruun: z-Transform DFT filters and FFTs. In: IEEE Trans. on Acoustics, Speech and Signal Processing (ASSP) 26, Nr. 1, 1978, S. 56-63.
- M. T. Heideman, D. H. Johnson, C. S. Burrus : Gauss and the History of the Fast Fourier Transform. In: Arch. Hist. Sc. 34, Nr. 3, 1985.
- Alan V. Oppenheim, Ronald W. Schafer: Zeitdiskrete Signalverarbeitung. 3. Auflage. R. Oldenbourg Verlag, München/Wien 1999, ISBN 3-486-24145-1.
- E. Oran Brigham: FFT. Schnelle Fourier-Transformation. R. Oldenbourg Verlag, München/Wien 1995, ISBN 3-486-23177-4.
- Fourier-transzformáció FFT programmal
- Stoyan-Takó a Fourier-transzformációról
- Periódusanalízis
- A Fourier-transzformáció, társai és alkalmazásaik
- Fourier-transzformációs optikai spektroszkópia
- Frekvenciatartomány, Fourier-transzformáció, Fourier-sor, DFT, DTFT[halott link]
- A Fourier-transzformáció rövid elmélete és gyakorlati alkalmazása
- Fourier-sorok, Fourier-transzformáció, egységimpulzus
- FFT Python