Abszolútérték-függvény

Az abszolútérték-függvény grafikonja

Az abszolútérték-függvény egy elemi egyváltozós valós függvény, mely minden valós számhoz az abszolút értékét rendeli, azaz önmagát, ha a szám nemnegatív, és az ellentettjét, ha a szám negatív.

Egy x szám abszolút értékét így jelölik:

$|x|\,$.

Magát az abszolútérték-függvényt, vagyis az

$x\mapsto |x|\,$

hozzárendelést vagy sehogy se jelölik, vagy az abs szimbólummal, esetleg az analízisben használatos $\scriptstyle {|\,.\,|}$ jelöléssel, ahol a pont a változó helyét jelöli.

Ekvivalens definíciók

Az abszolútérték-függvény tehát nem más, mint az

$\mathrm {abs} :\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ;\;\;x\mapsto |x|$

függvény. Tekintve, hogy az abszolút értéknek sokféle ekvivalens megfogalmazása van, az abszolútérték-függvényt is több alakban adhatjuk meg. Tetszőleges x valós szám esetén:

$\mathrm {abs} (x)\ =\ |x|\ =\ {\begin{cases}\ x,&{\mbox{ha }}x\geq 0,\\-x,&{\mbox{ha }}x<0\end{cases}}$ $\mathrm {abs} (x)\ =\ |x|\ =\ x\cdot \operatorname {sgn} (x)$ $\mathrm {abs} (x)\ =\ |x|\ =\ \max\{x,-x\}\,$

ahol sgn(x) az ún. szignumfüggvény vagy előjelfüggvény, max pedig a mellette álló rendezetlen párból választja ki a nem kisebbet.

Ezen definíciók teljességgel ekvivalensek.

Analitikus tulajdonságok

Nemnegativitás

A teljes értelmezési tartományon nemnegatív, ezért abszolút értéke önmaga. Tehát minden x valós számra

$|\,|x|\,|=|x|$

Ugyanis a nemnegatív számokon identikus, azaz értéke a független változó (argumentum) értékével egyenlő, míg a negatív számokon a független változó értékének ellentettjét, azaz nemnegatív számot vesz föl.

Szubadditivitás

Rendkívül fontos mind a matematikai, mind a fizikai alkalmazások számára az a tulajdonsága, hogy szubadditív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:

$|x+y|\leq |x|+|y|$

amely kijelentés lényegében a valós számokra vonatkozó háromszög-egyenlőtlenség.

Folytonosság

Az értelmezési tartomány minden pontjában folytonos, tehát az R-en folytonos függvények C(-∞, +∞) osztályába tartozik.

Derivált

R\{0}-en differenciálható és a deriváltja a szignumfüggvény. A 0-ban nem deriválható, ott töréspontja van (balról deriválva -1-et, jobbról deriválva 1-et kapunk, holott a deriválhatóság feltétele, hogy a jobb és bal oldali derivált megegyezzen).

$\mathrm {abs} '(x)=\mathrm {sgn} (x)\quad \quad x\neq 0$

Definíciója első alakjából és a szignumfüggvény megfelelő definíciójával összehasonlítva, következik; ha x<0, akkor |x| = -x, ezen a tartományon deriválva -1 adódik, ami épp a szignumfüggvény értéke. Hasonlóan ha x>0, akkor |x| = x, tehát deriváltja 1; szintén a szignumfüggvény értékével egyezik.

Algebrai tulajdonságok

Multiplikativitás

„Erős” értelemben multiplikatív, azaz tetszőleges x,y valós számokra:

$|x\cdot y|=|x||y|\,$

Iteráció-invariancia

Nemnegativitásából következően az iteráció (önmagára alkalmazás) műveletére nézve fixpontként viselkedik a függvény, azaz bármely pozitív (n-ed) rendű iteráltja önmaga:

${\underset {n\;\mathrm {db} }{\underbrace {|\,|...|} }}x{\underset {n\;\mathrm {db} }{\underbrace {|...|\,|} }}=|x|\,$

vagy az analízis formalizmusában

${\underset {n\;\mathrm {db} }{\underbrace {\mathrm {abs} \circ \mathrm {abs} \circ ...\circ \mathrm {abs} } }}=\mathrm {abs} \,$

Általánosítás

Komplex számok, kvaterniók, sőt bizonyos más algebrák esetén is értelmezik az abszolút érték fogalmát. Ha z = a + b i komplex szám, akkor abszolút értéke a

$|z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,$

valós szám, mely lényegében a komplex számot reprezentáló síkvektor hossza.

Általában egy algebrában az abszolút érték olyan norma, mely teljesíti a fent említett erős multiplikatív tulajdonságot.

Lásd még

• szignumfüggvény
• norma (matematika)

Hivatkozások

• Weisstein, Eric W.: Absolute value (angol nyelven). Wolfram MathWorld