Differenciál

A matematikai analízisben egy differenciálható függvény differenciáljának nevezzük azt a lineáris függvényt, mely a függvény növekményét legjobban közelíti. Gyakran ennek a lineáris függvénynek a növekményét is differenciálnak nevezik, ami tehát közelítő értéke a függvényérték két közeli pont közti eltérésének.

A differenciál kifejezés olyan értelemben is használatos, mint egy függvény végtelen kicsiny megváltozása, miközben a független változót végtelen kis mennyiséggel megváltoztatjuk. Ez esetben vagy beletörődnünk, hogy a "végtelen kis mennyiség" kifejezés nem teljesen jól definiált, és intuíciónkra bízzuk értelmének kibontását, vagy a nemsztenderd analízishez fordulunk, mely halmazelméleti, modern logikai eszközökkel teszi pontossá a fogalom értelmezését.

Definíció

Legyen f a valós számok egy részhalmazán értelmezett függvény, a az f értelmezési tartományának egy belső pontja. Ekkor az f függvény a-beli differenciálhatóságával egyenértékű a következőkkel:

1. létezik olyan ε (az f értelmezési tartományán értelmezett) függvény, mely eltűnik a-ban (azaz ott folytonos és értéke 0), továbbá
2. van olyan A valós szám, hogy minden x-re az f értelmezési tartományából:

$f(x)=f(a)+A\!\cdot \!(x-a)+\varepsilon (x)\!\cdot \!(x-a)$

Az iménti képletben az ε(x)$\cdot$(x-a) úgy nevezett másodrendűen kicsiny mennyiség a körül, azaz legalább az (x-a)² hatvánnyal osztva adhat csak 0-tól különböző határértéket. Ez azt jelenti, hogy az f függvényt felbontottuk egy lineáris részre:

$f(a)+A\cdot (x-a)\,$

és egy nemlineáris maradék részre:

$\varepsilon (x)\!\cdot \!(x-a)$

Ha az f fenti alakját deriváljuk (az egyenlőségből látható, hogy ε is differenciálható), akkor kapjuk, hogy:

$f'(x)=A+\varepsilon '(x)\!\cdot \!(x-a)+\varepsilon (x)$

vagyis az x = a esetben f '(a) = A. Az A szám tehát a derivált, az x – a = h helyettesítéssel nyert

$\mathrm {d} f(a):\;\;h\mapsto A\cdot h$

(homogén) lineáris leképezést pedig az f függvény a-beli differenciáljának nevezzük.

Jelölések

Az a pontban az f függvény, vagy más néven az y = f(x) formula függvő változójának differenciálját

$df(a)\,$ vagy $df|_{x=a}\,$ vagy $dy|_{x=a}\,$

jelöli. A független változó differenciálját, ahogyan az x – a különbséget nevezik

$dx\,$

szimbolizálja. f-re tehát fennáll:

$f(x)=f(a)+df(a)+\varepsilon \cdot dx$

ahol mind df(a), mind ε függ x-től, bár ezt nem mindig szokás kiírni. Fontos tudnunk, hogy mind df(a), mind dx valódi, véges mennyiség szemben a nemsztenderd analízis használta differenciállal, mely végtelen kicsi.

Gyakran a differenciál jelöléséből az a-ra utaló jeleket elhagyják. x-re mint középpontra és dx-re mint eltérésre felírva a függvény megváltozását:

$\Delta f=f(x+dx)-f(x)=df+\varepsilon \cdot dx$

A differenciál definíciójából adódik, hogy a függő és független változó hányadosa éppen a derivált:

${\frac {df(a)}{dx}}={\frac {f'(a)\cdot (x-a)}{x-a}}=f'(a)$

ami jól illusztrálja, hogy a derivált kifejezést mért nevezik még differenciálhányadosnak is.

A differenciál geometriai jelentése

Rajzoljuk be a függvénygörbe egy P pontjához az érintőt (PS szakasz), tetszőleges dx távolsággal eltávolodva x-től a függvény f(x+dx) értéket vesz fel, míg az azt közelítő lineáris f(x)+dy értéket (S pont). A dx$\to$0 határértékben az f(x+dx)-f(x) különbség egyenlővé válik dy-nal, vagyis a lineáris közelítés annál jobb, minél kisebb dx-et választunk. Az ábrán a differenciált ábrázoló PRS háromszöget Leibniz-féle háromszögnek nevezzük.

Magasabbrendű differenciálok

Másodrendű differenciál

Ha feltesszük, hogy f az a pontban kétszer differenciálható, akkor az x $\mapsto$ ε(x) függvény is kétszer differenciálható lesz. Tekinthetjük tehát az f ' függvény differenciálját, melyet a következő egyenlet definiál:

$f'(x)=f'(a)+f''(a)\cdot (x-a)+\delta (x)\cdot (x-a)$

ahol az utolsó tag másodrendűen kicsi a közelében. Ekkor a másodrendű, vagy második differenciál:

$d^{2}f(a)=f''(a)\cdot (x-a)^{2}$

Természetesen ekkor a szokásos dx = x – a jelöléssel érvényben van a következő összefüggés:

${\frac {d^{2}f(a)}{dx^{2}}}=f''(a)$

A másodrendű differenciált is figyelembe véve f-re egy másodfokú közelítést adhatunk. Ha ε-t is "lineáris + nemlineáris" alakban írjuk fel, akkor f(x) alkalmas B számmal és a-ban nullához tartó x$\mapsto$η(x) függvénnyel a következő alakban fejezhető ki:

$f(x)=f(a)+f'(a)\!\cdot \!(x-a)+(B\!\cdot \!(x-a)+\eta (x)\!\cdot \!(x-a))\!\cdot \!(x-a)$

azaz

$f(x)=f(a)+f'(a)\!\cdot \!(x-a)+(B+\eta (x))(x-a)^{2}$

Ezt kétszer deriválva a-ban, a következő azonosságot ismerhetjük fel:

$2B\equiv f''(a)$

Vagyis a függvény megváltozása:

$\Delta f=f(x)-f(a)=df(a)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(a)+\xi (x)\cdot (x-a)^{2}$

ahol ξ(x) nullához tart, ha x tart a-hoz.

Magasabb rendű differenciálok

A fentiekhez hasonlóan a-ban n-szer differenciálható f esetén definiálható az n-ed rendű differenciál, melynek jelölése

$d^{n}f(a)\,$

és melyre teljesül:

${\frac {d^{n}f(a)}{dx^{n}}}=f^{(n)}(a)$

ahol f ⁽ⁿ⁾(a) az f függvény a pontbeli n-edik deriváltja.

Belátható, hogy n-szer differenciálható függvény esetén a függvénynövekményt a Taylor-sorhoz hasonló alakban kapjuk:

$\Delta f=f(x)-f(a)=\,$

$=df(a)+{\frac {1}{2}}d^{2}f(a)+{\frac {1}{6}}d^{3}f(a)+...+{\frac {1}{n!}}d^{n}f(a)+\xi (x)\cdot (x-a)^{n}=$

$=\left(\sum \limits _{k=1}^{n}{\frac {1}{k!}}d^{k}f(a)\right)+\xi (x)\cdot (x-a)^{n}$

Végül valós analitikus függvény esetén a Taylor-sor teljes egészében átírható a függvénynövekmény differenciálokkal történő előállításaként:

$\Delta f=f(x)-f(a)=\sum \limits _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n!}}d\,^{n}f(a)$