Euler-féle szám

Az Euler-féle szám (jele: e) egy matematikai állandó, amit a természetes logaritmus alapjaként használnak. Irracionális és transzcendens. Értéke 30 értékes jegyre megadva:

e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 471 35…

A π és a képzetes egység i mellett az e az egyik legfontosabb állandó a matematikában.

Az e szám Euler-féle számként is ismert Leonhard Euler matematikus után, de Napier-állandónak is nevezik John Napier skót matematikusnak, a logaritmusfüggvény megalkotójának tiszteletére.

Definíció

Az e néhány ekvivalens definíciója:

• Az e a következő sorozat határértéke:

$e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.$

• Az e a következő végtelen sor összege:

$e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots$

ahol n! a faktoriálisa az n természetes számnak.

• Az e az a pozitív valós szám, amelyre

$\int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,\mathrm {d} t={1}.$

Tulajdonságok

Az e^x exponenciális függvény az egyetlen függvény (konstanssal való szorzás erejéig), amely önmaga deriváltja, és így önmaga primitív függvénye:

$\left(e^{x}\right)'=e^{x}$ és

$\int e^{x}\,dx=e^{x}+C$, ahol C konstans.

Az e irracionális (bizonyítás) és transzcendens szám (bizonyítás). Az első szám volt, amiről bebizonyították, hogy transzcendens (kivéve azokat a számokat, amiket szándékosan transzcendensre konstruáltak). A bizonyítást Charles Hermite 1873-ban végezte el. Sejtések szerint normális szám, azaz számjegyei véletlenszerűen fordulnak elő. Szerepel az Euler-képletben, amely az egyik legfontosabb matematikai azonosság:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x$,

Az $x=\pi$ speciális esetet Euler-azonosságnak nevezik:

$e^{i\pi }=-1\,\!$

amit Richard Feynman Euler drágakövé-nek nevez.

Az e lánctört alakba fejtve egy érdekes mintát tartalmaz (A005131 sorozat az OEIS-ben), ami így írható le:

e = [1; 0, 1, 1, 2, 1, 1, 4, 1, 1, 6, 1, 1, 8, 1, 1, 10, 1, 1, 12, …]

Az e hatványait kifejezhetjük a következőképpen:

$e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}$

Minden valós x számra teljesül az

$1+x\leq e^{x}$

egyenlőtlenség.

Ezt egy pozitív valós x esetén ${\frac {x-e}{e}}$-re alkalmazva

$1+{\frac {x-e}{e}}\leq e^{\frac {x-e}{e}}$

azaz átrendezve és egyszerűsítve

$x\leq e^{\frac {x}{e}},$

azaz ${\sqrt[{x}]{x}}\leq {\sqrt[{e}]{e}}$, más szóval pozitív x-re az ${\sqrt[{x}]{x}}$ függvény $x=e$-re éri el maximumát.

A logaritmusokra vonatkozó azonosságok alapján:

$e={\frac {{10}^{\log }{a}}{\ln {a}}}.$

Története

John Napier logaritmusról írt művében jelentek meg az első utalások az e számra 1618-ban. A függelék nem adott közelítést magára a számra, de tartalmazott egy táblázatot a természetes logaritmusról. Ezt a táblázatot feltehetően William Oughtred készítette. Az e számot elsőként Jacob Bernoulli használta, amikor ennek a kifejezésnek az értékét kereste:

$\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}$

A szám első ismert alkalmazása Gottfried Wilhelm Leibniz és Christiaan Huygens levelezésében jelent meg 1690-ben és 1691-ben, ahol is b-vel jelölték. Elsőként Leonhard Euler használta az e betűt 1727-ben, és az 1736-ban megjelent Mechanicá-ban. Egyes kutatók az ezt követő években a c betűt használták, de végül az e terjedt el.

Az e betű választásának okai ismeretlenek, de egyes elméletek szerint az exponenciális szó első betűjéből ered. Egy másik elgondolás szerint ez az első magánhangzó az a után, amivel Euler egy másik számot jelölt. Ez az elgondolás nem magyarázza meg, hogy Euler miért használta ezeket a magánhangzókat. Nem valószínű, hogy a saját nevének kezdőbetűjét használta volna, hiszen nagyon szerény volt, és mindig megadta a mások munkáinak a kellő tiszteletet.

Matematikán kívüli használata

Az e az egyik leghíresebb matematikai konstans, ezért a matematikán kívül is népszerű. Néhány példa:

• 2004-ben az IPO (a Google leányvállalata) 2 718 281 828 dolláros növekedést akart.
• Donald Knuth a METAFONT verziószámait úgy állapította meg, hogy azok az e számot közelítsék. Így a verziószámok 2, 2.7, 2.71, 2.718, …
• Szintén a Google tehet egy rejtélyes hirdetőtábláról [1] amely először a Szilícium-völgyben, majd a Massachusetts állambeli Cambridge-ben jelent meg, amely így szólt {az első tízjegyű prímszám, amely az e egymást követő számjegyeiben található}.com. Aki megoldotta a feladatot és meglátogatta a megjelölt weblapot, egy sokkal nehezebb megfejtendő feladatot talált. (Az első tízjegyű prímszám, amely az e számjegyeiben előfordul, a 7427466391, amely meglepő módon csak a 101. számjegynél kezdődik.) [2]
• A neper (Np) mértékegység, ami két szám arányát adja meg, e-alapú logaritmust használ (ellentétben a decibel 10-es alapjával). Felhasználása: nyomás, térerősség, jelszint stb.

$A=\log _{e}{\frac {U_{2}}{U_{1}}}\ [Np]$ ; $A={\frac {1}{2}}\cdot \log _{e}{\frac {P_{2}}{P_{1}}}\ [Np]$

Források

• Maor, Eli; e: The Story of a Number, ISBN 0-691-05854-7
• O'Connor, J.J., and Roberson, E.F.; The MacTutor History of Mathematics archive: "Az e szám"; University of St Andrews Scotland (2001)
• O'Connor: "The number e"

További információk

• Az e szám 1 millió tizedesjegy pontossággal
• Az e szám 10 millió tizedesjegy pontossággal