Tükrözés (matematika)

Az egybevágósági transzformációk közül többet is tükrözésnek neveznek. Legismertebb a síkbeli tengelyes tükrözés és pontra tükrözés. Néha a térbeli síkra tükrözés is szóba kerül. Az inverziót körre tükrözésnek is szokás nevezni.

Középpontos tükrözés

Az egyenesen értelmezett középpontos tükrözés az egyenes egy P pontját abba a P¹ pontba viszi, ami ugyanolyan távol van a középponttól, mint P, hogy a középpont a PP¹ szakasz felezőpontja legyen.

Legtöbbször ennek síkbeli kiterjesztéséről beszélnek. Ekkor a sík egy P pontjának P¹ képe az a pont, ami a P pontot a középponttal összekötő egyenesen fekszik, hogy a középpont a PP¹ szakasz felezőpontja.

Tulajdonságok

A középpontos tükrözésnek a következő tulajdonságai vannak a síkban:

• olyan forgatás, aminek szöge 180 fok
  • irányítástartó
• megadható középpontjával, vagy egy pont-pont képe párral
• van egy fixpontja: a középpontja
• invariáns egyenesei a középponton átmenő egyenesek
• felírható két tengelyes tükrözés szorzataként, melyek tengelyei merőlegesek egymásra, és a középpontban metszik egymást
• a transzformációszorzásban eltolással szorozva középpontos tükrözést ad
• két középpontos tükrözés szorzata eltolás

Tengelyes tükrözés

Tengelyes tükrözés az a transzformáció, ami szerint egy P pont képe az a P¹ pont, ami a P pontból a tükrözés tengelyére bocsátott merőlegesen fekszik, és távolsága megegyezik a P pont tengelytől mért távolságával.

Síkban a tengely a PP¹ szakasz felezőmerőlegese. Térben a szakasz felezőmerőleges síkjában helyezkedik el.

Tulajdonságok

A síkban:

• irányításváltó
• megadható tengelyével vagy pont - pont képe párral
• fixegyenese a tengelye
• invariáns egyenesei a tengelyre merőleges egyenesek
• egy tengelyes tükrözés a tengelyes tükrözések közül csak önmagával vagy rá merőleges tengelyű tükrözéssel cserélhető fel
• önmagával vett szorzata identitás
• három, egy ponton átmenő tengelyű, vagy párhuzamos tengelyű tükrözés szorzata tengelyes tükrözés
  • ebben a szorzatban a két szélső tényező felcserélhető egymással
• három, páronként egymást metsző tengelyű tükrözés szorzata csúsztatva tükrözés
• két tengelyes tükrözés szorzata
  • forgatás, ha a tengelyek metszik egymást
  • eltolás, ha párhuzamosak
• páros számú tengelyes tükrözés szorzata nem írható fel páratlan számú tengelyes tükrözés szorzataként
• a sík összes transzformációja előáll legfeljebb három tengelyes tükrözés szorzataként

A térben:

• irányítástartó
• 180 fokos forgatás a tengely körül
• megkapható két merőleges síkra tükrözéssel
• önmagával vett szorzata identitás
• megadható tengelyével
• fixegyenese a tengelye
• invariáns egyenesei a tengelyre merőleges egyenesek
• egy egyenes képe abban a pontban metszi a tengelyt, amiben az egyenes is metszi
• a tengellyel párhuzamos egyenesek képei is párhuzamosak a tengellyel, és tengelytől vett távolságuk megegyezik az eredeti egyenesek tengelytől mért távolságával
• három párhuzamos tengelyre vett tükrözés szorzata tengelyes tükrözés

Tengelyes szimmetria

Egy alakzat tengelyesen szimmetrikus a síkban, ha van tengely, amire tükrözve önmagába megy át. Ilyen például az egyenlő szárú háromszög, a húrtrapéz, a deltoid, a rombusz, a téglalap, a kör.

Síkra tükrözés

Síkra tükrözés az a (téren értelmezett) transzformáció, ami szerint egy P pont képe az a P¹ pont, ami a P pontból a tükrözés síkjára bocsátott merőlegesen fekszik, és távolsága megegyezik a P pont tengelytől mért távolságával.

Ekkor a tükrözés síkja a PP¹ szakasz felező merőleges síkja.

Tulajdonságok

• Irányításváltó
• Egyértelműen megadható a tükrözés síkjával, vagy egy pont-pont képe párral
• A tükrözés síkja fix
• A tükrözés síkjára merőleges egyenesek, síkok invariánsak
• A tükrözés síkjával párhuzamos egyenes, sík képe párhuzamos az eredeti egyenessel, síkkal
• A tükrözés síkját metsző egyenes, sík képe ugyanabban a pontban metszi a síkot, mint az eredeti egyenes, sík
  • Ekkor a tükrözés síkja az eredeti és a képsíkok szögfelező síkja
• Önmagával vett szorzata az identitás
• Három közös egyenesen átmenő, vagy párhuzamos síkra vett tükrözés szorzata síkra vett tükrözés, és ebben a szorzatban a két szélső tényező felcserélhető
• A tér bármely egybevágósága előáll legfeljebb négy síkra tükrözés szorzataként
• Páros számú síkra tükrözés szorzata nem fejezhető ki páratlan számú síkra tükrözés szorzataként
• Két síkra tükrözés csak akkor cserélhető fel, ha síkjaik merőlegesek egymásra, vagy megegyeznek

Algebra

Síkban a tengelyes tükrözések, térben a síkra tükrözések generálják a hasonlósági transzformációk csoportját.

Lineáris algebra

A síkban (az origón átmenő) egyenesre, a térben (origón átmenő) síkra tükrözés mátrixa −1 determinánsú ortogonális mátrix.

A síkban az origón átmenő, az x tengely pozitív felével $\vartheta$ szöget bezáró egyenesre tükrözés mátrixa:

$\mathrm {Ref} (\vartheta )={\begin{bmatrix}\cos 2\vartheta &\sin 2\vartheta \\\sin 2\vartheta &-\cos 2\vartheta \end{bmatrix}}.$

A koordinátasíkokra, koordinátatengelyekre, origóra tükrözés mátrixai a térben:

az YZ koordinátasíkra:

$\mathrm {Ref} (YZ)={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}.$

az X tengelyre:

$\mathrm {Ref} (X)={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}.$

az origóra:

$\mathrm {Ref} (O)={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&-1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}.$

Általánosítások

Csúsztatva tükrözés: felírható egy tükrözés és egy eltolás szorzataként. Ebben a szorzatban a tényezők felcserélhetők, és választható olyan eltolás és tükrözés, hogy az eltolás iránya párhuzamos legyen a tükrözés tengelyével vagy síkjával. Felírható három tengelyes vagy síkra tükrözés szorzataként. Mátrixa ‒1 determinánsú ortogonális mátrix. A sík minden irányításváltó egybevágósági transzformációja csúsztatva tükrözés.

A tükrözés speciális csúsztatva tükrözésnek tekinthető, ahol a fenti szorzatban az eltolás az identitás.

Forgatva tükrözés: felírható egy síkra tükrözés és egy tengelyes forgatás szorzataként. Ebben a szorzatban a tényezők felcserélhetők, és választható olyan forgatás és tükrözés, hogy a forgatás tengelye merőleges legyen a tükrözés síkjára.

A síkra tükrözés speciális forgatva tükrözésnek tekinthető, ahol a fenti szorzatban a forgatás az identitás.

Lásd még

• Szimmetria
• Csoportelmélet
• Forgatás

Források

• https://web.archive.org/web/20080215214054/http://lexikon.fazekas.hu/123
• https://web.archive.org/web/20081109194722/http://bel.freeweb.hu/e3/matek2.html (Megszűnt a lap. Te is segíthetsz megfelelő hivatkozást találni!)
• https://web.archive.org/web/20160308051506/http://kemeny-eger.sulinet.hu/public/doks/matematika/tetel15.pdf
• http://www.pharmachip.hu/zyx/old/hiperter/4dgeo.htm kiterjesztések
• https://web.archive.org/web/20081021092706/http://web.axelero.hu/ebalog/matektetel.htm
• https://web.archive.org/web/20081104062923/http://matek.fazekas.hu/portal/tanitasianyagok/Pogats_Ferenc/sik/siktraf/siktraf.htm
• http://www.math-inst.hu/~carlos/geo2ttem.html
• https://web.archive.org/web/20081225001602/http://xml.inf.elte.hu/~mathdid/szakdolg/viki/lexikon/stu/stu.html
• http://www.hefop.u-szeged.hu/hefop_kk/documents/Tananyag/SZTE/Euklideszi_geometria.pdf harmadik dimenzió
• https://web.archive.org/web/20110926082024/http://www.geo.u-szeged.hu/~bodis/maths/szakdolgozat/
• http://adameva.web.elte.hu/6AlkModsz/TetelekSztolar/IA_10.doc