Vektortér

A vektortér, más néven lineáris tér a lineáris algebra egyik legalapvetőbb fogalma, amelyhez a geometriában (is) használt vektor fogalmának általánosítása vezet. A vektorokkal végezhető műveletek legelemibb tulajdonságait axiomatikusan definiálja, ezáltal egy algebrai struktúra-típus keletkezik. A lineáris tér a mi szokásos síkunk és terünk általánosítása többdimenziós terekre. Jelentősége nem csupán elméleti, a fizikában, informatikában, a komputergrafikában, számos más elméleti és alkalmazott tudományágban; nemkülönben a matematika számos területén fontos szerepet játszik.

Formális definíció

Legyen F egy test. Egy V nemüres halmazt vektortérnek nevezünk az F test felett, ha

• V halmazon értelmezve van egy összeadás nevű művelet, V × V → V függvény, ∀ u, v ∈ V elempárhoz hozzárendel egy és csak egy V-beli elemet (u+v), valamint
• F és V között értelmezve van egy skalárral való szorzás nevű művelet, F × V → V függvény, ∀ λ ∈ F és v ∈ V elempárhoz egyértelműen hozzárendel egy V-beli elemet (λv),

úgy, hogy az alábbi azonosságok, úgynevezett vektortér-axiómák teljesülnek:

1. V az összeadásra nézve kommutatív csoportot, Abel-csoportot alkot, azaz az összeadás:
   • asszociatív: ∀ u, v, w ∈ V: u + (v + w) = (u + v) + w.
   • kommutatív: ∀ u, v ∈ V: u + v = v + u.
   • létezik neutrális elem: 0 ∈ V, V nullvektora: v + 0 = v, ∀ v ∈ V.
   • invertálható: ∀ v ∈ V: ∃ olyan -v ∈ V additív inverz: v + (-v) = 0.
2. Skalárral való szorzás disztributivitási szabályai:
   • ∀ λ ∈ F és u, v ∈ V: λ(u + v) = λu + λv.
   • ∀ λ, μ ∈ F és v ∈ V: (λ + μ)v = λv + μv.
   • ∀ λ, μ ∈ F és v ∈ V: λ(μv) = (λμ)v.
   • ∀ v ∈ V: 1v = v, ahol 1 az F test egységeleme.

Formálisan tehát úgy definiálhatjuk a vektortereket, figyelembe véve, hogy $\mathbf {F} =\langle F,+,-,0,\cdot ,1\rangle$ egy test,
az F feletti vektortér egy algebrai struktúra, a következő formában

$\mathbf {V} =\langle V,\oplus ,-\!\!-,\mathbf {0} ,F,+,-,0,\cdot ,1,\star \rangle$

úgy, hogy

$\langle V,\oplus ,-\!\!-,\mathbf {0} \rangle$ Abel-csoport,

$\star :F\times V\mapsto V$ skalárral való szorzás, melyre teljesülnek a fent említett disztributivitási szabályok.

Ekkor a V vektortér struktúráját a következőképpen is jelölhetjük

$\langle V,\oplus ,-\!\!-,\mathbf {0} ,\mathbf {F} ,\star \rangle$

V elemeit vektoroknak, F elemeit skalároknak nevezzük.
Megkülönböztetünk úgynevezett speciális vektortereket is, amelyeken még egyfajta szorzás is értelmezett.
Ilyenek például a skaláris szorzattal ellátott euklideszi terek.

Elemi tulajdonságok

V Abel-csoport

• nullvektor és az additív inverz unicitása,
• bármely u,v,w,t ∈ V: az u+x = v, és y+w = t egyenletek egyértelműen megoldhatók V-ben x és y-ra,
• összeadás asszociativitása és kommutativitása miatt többtagú összegek esetén a zárójelezés és a tagok sorrendje is tetszőlegesen megváltoztatható.

További következmények

• bármely λ ∈ F: λ0 = 0,
• bármely v ∈ V: 0v = 0, ahol 0 az F test nulleleme,
• bármely v ∈ V: (-1)v = -v, ahol -1 az F test egységelemének additív inverze,
• ha λv = 0, akkor λ = 0 vagy v = 0.

Példák

A lineáris tér egy nagyon általános fogalom, rengeteg példa van rá a matematikában. Nagyon sok olyan matematikai fejezetben is megjelenik, amit szerteágazóan alkalmaznak a fizika számos területén, például a funkcionálanalízis vagy éppen a differenciálgeometria, hogy csak néhányat említsünk.

• a közönséges síkbeli és térbeli, origóból kiinduló vektorok a valós test felett a szokásos vektorösszeadásra és skalárral való szorzásra nézve,
• a valós szám n-esek $\mathbb {R}$ felett, a komplex szám n-esek $\mathbb {C}$ felett, és
• általában F ⁿ, F felett (F tetszőleges test), a szokásos módon értelmezett, komponensenként végzett műveletekre,
• F ^{n × k}, F felett, azaz az n×k-as mátrixok F test felett, a mátrixok szokásos, komponensenkénti összeadására és skalárral való szorzására nézve.
• F [x], azaz az F feletti polinomok, F felett, a polinomok összeadására és skalárral való szorzására nézve,
• a legfeljebb n-edfokú polinomok F felett,
• valós számsorozatok a valós test felett a szokásos műveletekre,
• az $\left[a,b\right]$ intervallumon folytonos $\mathbb {R}$-be képező függvények a valós test felett, a szokásos pontonkénti összeadásra, és skalárral való szorzásra nézve,
• az $\left[a,b\right]$ intervallumon Riemann-integrálható $\mathbb {R}$-be képező függvények a valós számok teste felett, a szokásos pontonkénti összeadásra, valamint a skalárral való szorzásra nézve,
• a komplex számok a valós test felett, a komplex számok körében értelmezett műveletekre,
• a komplex számok a komplex számok teste felett,
• a valós számok a valós számok teste felett,
• a valószínűségi változók a szokásos összeadásra és skalárral való szorzásra nézve.

Lineáris altér

Egy F test feletti V vektortér egy nemüres W ⊆ V részhalmazát altérnek nevezzük V-ben, ha W maga is vektortér ugyanazon F test felett ugyanazokra a V-beli vektorműveletekre, precízebben ezeknek a műveleteknek W-re történő megszorításaira nézve. Jelölése W ≤ V.

Lineáris kombináció

V vektortér v₁, v₂, …, v_k tetszőleges vektorai és λ₁, λ₂, …, λ_k ∈ F skalárok.
Ekkor a $\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots +\lambda _{k}\mathbf {v} _{k}$ ∈ V vektort a v_i vektorok, λ_i skalárokkal képzett lineáris kombinációjának nevezzük.

Lineáris függetlenség

Egy V vektortér véges sok vektoráról akkor mondjuk, hogy lineárisan függetlenek, ha lineáris kombinációjuk csak úgy lehet a nullvektor, ha mindegyik skalár szükségképpen 0. Végtelen sok vektor lineáris függetlenségén azt értjük, hogy közülük bármely véges sok lineárisan független. A v₁,…,v_n ∈ V vektorok lineárisan összefüggőek, ha lineárisan nem függetlenek, tehát

$\exists \ \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}\in \mathbf {F}$

nem mind nulla skalár, azaz közülük legalább egy nem nulla, hogy

$\lambda _{1}\mathbf {v} _{1}+\ldots +\lambda _{n}\mathbf {v} _{n}=\mathbf {0} .$

Bázis

A bázis a lineáris algebrában egy olyan vektorhalmazt jelent, mely vektorainak lineáris kombinációi reprezentálják egy megadott vektortér valamennyi vektorát, valamint e vektorhalmaz semelyik eleme sem fejezhető ki a többi elem lineáris kombinációjával.
Tehát bázison lineárisan független generátorrendszert értünk.

Dimenzió

Egy V vektortér dimenzióján egy bázisának elemszámát, számosságát értjük.
Ha a vektortérnek nincs véges generátorrendszere, akkor dimenziója végtelen. A 0 tér dimenziója: 0.

Vektorterek izomorfizmusa

Definíció

Két vektortér, V₁ és V₂ izomorf egymással, ha létezik egy kölcsönösen egyértelmű, injektív lineáris (homogén) leképezés V₁-ből V₂-re.
Azaz

$V_{1}\cong V_{2}\ \Leftrightarrow \ \varphi :V_{1}\rightarrow V_{2}\$ lineáris leképezés bijektív.

A vektorterek halmazán az izomorfia meghatároz egy osztályozást. Ez az osztályozás a halmazt diszjunkt részhalmazok uniójára bontja fel. Két vektortér akkor és csak akkor kerül ugyanabba az osztályba, ha izomorf.
E reláció reflexív, szimmetrikus és tranzitív, vagyis az izomorfia ekvivalenciareláció.

Magtér, képtér

Ha $\varphi :V\rightarrow W$ tetszőleges lineáris leképezés, akkor a magtér és a képtér

$\mathrm {Ker} \,\varphi =\{\,\mathbf {v} \in V\,|\,\varphi (\mathbf {v} )=0\,\}$

$\mathrm {Im} \,\varphi =\{\mathbf {w} \in W\,|\,\exists \ \mathbf {v} \in V:\ \varphi (\mathbf {v} )=\mathbf {w} \}$

Megjegyzés: a magtér a V, a képtér a W vektortér altere.

Tulajdonságok

Véges dimenziós vektorterek tulajdonságai

• Egy $\varphi :V\rightarrow W$ lineáris leképezés akkor és csak akkor izomorfizmus, ha

$\mathrm {Ker} \,\varphi =\mathbf {0} \ \wedge \ \mathrm {Im} \,\varphi =W$

• Ha V vektortér F felett, valamint

$\mathrm {dim} \,V=n,\ n\in \mathbb {N} ^{+}\Rightarrow V\cong \mathbf {F} ^{n}$

• Ugyanazon F test feletti véges dimenziós vektorterekre fennáll:

$V\cong W\Leftrightarrow \mathrm {dim} \,V=\mathrm {dim} \,W$

Dimenziótétel

A dimenziótétel azt állítja, hogy tetszőleges lineáris leképezés képterében illetve magterében lévő bármely lineáris független generátorrendszer összelemszáma a kiindulási vektortér dimenziójával egyenlő. Formálisan

V₁ és V₂, két tetszőleges, véges dimenziós vektortér ugyanazon F test felett, továbbá $\varphi \$ tetszőleges lineáris leképezés V₁-ből V₂-be. Ekkor

$\mathrm {dim\,Ker} \,\varphi +\mathrm {dim\,Im} \,\varphi =\mathrm {dim} \,V_{1}$

Faktortér

Definíció

V egy tetszőleges vektortér F felett, és U egy tetszőleges altere V-nek. A

$[\mathbf {v} ]=\mathbf {v} +U=\{\mathbf {v} +\mathbf {u} \,|\,\mathbf {u} \in \,U\}$

halmazok, ahol v befutja az egész vektorteret, diszjunkt részhalmazok uniójára bontják V-t, ugyanis ha
$\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\notin U$ akkor $[\mathbf {v} _{1}]$ és $[\mathbf {v} _{2}]$ diszjunkt, ha $\mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2}\in U$ akkor $[\mathbf {v} _{1}]=[\mathbf {v} _{2}].$
Definiálunk két műveletet e halmazok körében

$[\mathbf {v} _{1}]+[\mathbf {v} _{2}]=[\mathbf {v} _{1}+\mathbf {v} _{2}]$

$\alpha [\mathbf {v} _{1}]=[\alpha \mathbf {v} _{1}],\ \alpha \in \mathbf {F}$

Az ily módon definiált műveletek egyértelműek, mivel

$[\mathbf {v} ]=[\mathbf {v} ']\ \Leftrightarrow \ \mathbf {v} -\mathbf {v} '=(\mathbf {v} +\mathbf {w} )-(\mathbf {v} '+\mathbf {w} )\in U\ \Leftrightarrow \ [\mathbf {v} +\mathbf {w} ]=[\mathbf {v} '+\mathbf {w} ],$

$\alpha [\mathbf {v} ]=\alpha [\mathbf {v} ']\ \Leftrightarrow \ \alpha (\mathbf {v} -\mathbf {v} ')=\alpha \mathbf {v} -\alpha \mathbf {v} '\in U\ \Leftrightarrow \ [\alpha \mathbf {v} ]=[\alpha \mathbf {v} ']$

Így egy vektorteret kaptunk, melyet a V vektortér U altere szerinti faktorterének nevezünk, vagy röviden a $V/U\$ faktortér, szokás $V\$ hányadosterének is nevezni.
A faktortér elemei a $\ [\mathbf {v} ],\,\mathbf {v} \in V$ vektorhalmazok, az additív egységelem a $\ [\mathbf {0} ]=U.$

Homomorfizmus

Algebrai megközelítés:

Legyenek G és L a szorzásra nézve csoportok. Az f:G→L leképezést homomorfizmusnak nevezzük, ha f(a·b)=f(a)·f(b) teljesül, azaz a leképezés művelettartó.

Legyen f a G csoportnak az L csoportba képező homomorfizmusa. És jelölje Ker f:=(f(g)=1) Ker f-et a homomorfizmus magjának nevezzük.

Homomorfia tétele:

Legyen f:G→L a G csoportnak az L csoportba képező homomorfizmusa. És jelölje Ker f e homomorfizmus magját. Ekkor G/Ker f izomorf az L csoporttal.

Lásd még

• Algebra
• Duális tér
• Lineáris algebra
• Lineáris leképezés
• Tenzor
• Tenzorszámítás
• Vektor

Irodalom

• Bronstejn – Szemengyajev – Musiol: Matematikai kézikönyv' (TypoTeX, 2002)
• Dancs I. – Puskás Cs.: Vektorterek (Aula Kiadó, 2003)
• Sain Márton: Matematikatörténeti ABC (Tankönyvkiadó, 1978)
• Scharnitzky Viktor: Mátrixszámítás. Bolyai-könyvek sorozat (Műszaki Könyvkiadó, 1998)
• Surányi László: Algebra, testek, gyűrűk, polinomok (TypoTeX, 2004)
• Szász Gábor: Matematika II. (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000)
• Szendrei János: Algebra és számelmélet (Nemzeti Tankönyvkiadó, 1996)

Források

• Freud Róbert: Lineáris algebra (ELTE Eötvös Kiadó, 2004)
• Fried Ervin: Algebra I., Elemi és lineáris algebra (Nemzeti Tankönyvkiadó, 2000)
• Kuros, A. G.: Felsőbb algebra (Tankönyvkiadó, Bp., 1975)
• Praszolov, V. V.: Lineáris algebra (TypoTeX, 2005)

További információk

• Encyclopedia Of Maths: Linear operator (angolul)
• MathWorld: Linear algebra (angolul)
• MathWorld: Linear transformation (angolul)
• PlanetMath: Linear algebra (angolul)
• PlanetMath: Linear transformation (angolul)
• Wikipedia: Algebra (angolul)
• Wikipedia: Euclidean space (angolul)
• Wikipedia: Linear Map (angolul)
• Wikipedia: Linear algebra (angolul)
• Wikipedia: Normed vector space (angolul)
• Wikipedia: Topological vector space (angolul)