Determináns

Determinánson egy négyzetes mátrixhoz rendelt számot értünk. Ha egy A n×n-es négyzetes mátrix elemei az a_ij számok, akkor az (n-edrendű) determináns a következő képlettel (ún. Leibniz-formula) kapható meg:

$D_{n}:=\sum _{(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n})}{(-1)^{I(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n})}a_{1i_{1}}\ldots a_{ni_{n}}},$

ahol az összegzés az (1, 2, ..., n) összes permutációjára történik, és $I(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n})$ jelöli az $(i_{1},i_{2},...,i_{n})$ permutációban lévő inverziók számát.

Itt az 1, 2, ..., n rendezhető elemek egy $(i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n})$ permutációjában a $i_{j}$ és $i_{k}$ elemeket inverzióban lévőnek mondjuk, ha j < k és $i_{j}>i_{k}$, vagyis a két elem nem követi egymást monoton növekvő sorrendben. Egy permutációban lévő inverziók száma ezen inverziók összessége. (Könnyen látható, hogy ez ugyanannyi, mint az egymás melletti elemek cseréjének minimális száma, amelyek az (1, 2, ..., n), 0 inverziót tartalmazó alapesetből kiindulva ahhoz kellenek, hogy az adott $(i_{1},i_{2},...,i_{n})$ permutációt előállítsuk.)

A determináns fenti definíciója természetesen nagyon nehezen kezelhető, hiszen bár $D_{2}$-re és $D_{3}$-ra léteznek egyszerű kiszámítási módok, a magasabb rendűekre még nem találtak ilyet, a közvetlen definícióból történő kiszámítás pedig már n = 4-re is 24 tagot eredményez, n = 6 esetben pedig már 720-at. Ezért jönnek jól a determináns kiszámítására a kifejtési és a műveletekkel való kapcsolatokra vonatkozó tételek.

Jelölése

• det(A), vagy
• |A|.

Kiszámítása néhány egyszerű esetben

1×1-es

Maga a szám.

2×2-es

$A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}$ mellett $\det A={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc.$

Például ${\begin{vmatrix}2&5\\3&1\end{vmatrix}}=2\cdot 1-5\cdot 3=-13.$

4×4-es

Alkalmazzuk a kifejtési tételt a mátrix valamelyik sorára vagy oszlopára, majd a Sarrus-szabályt!

Bemutató egy példamátrix első sora szerinti kifejtéssel:

${\begin{vmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\\\end{vmatrix}}=$

$=(-1)^{1+1}\cdot 1\cdot {\begin{vmatrix}6&7&8\\10&11&12\\14&15&16\\\end{vmatrix}}+(-1)^{1+2}\cdot 2\cdot {\begin{vmatrix}5&7&8\\9&11&12\\13&15&16\\\end{vmatrix}}+(-1)^{1+3}\cdot 3\cdot {\begin{vmatrix}5&6&8\\9&10&12\\13&14&16\\\end{vmatrix}}+(-1)^{1+4}\cdot 4\cdot {\begin{vmatrix}5&6&7\\9&10&11\\13&14&15\\\end{vmatrix}}=$

$=1\cdot 1\cdot 0-1\cdot 2\cdot 0+1\cdot 3\cdot 0-1\cdot 4\cdot 0=0.$

Háromszög- és diagonális mátrix

A kifejtési tétel rekurzív alkalmazásával belátható, hogy háromszögmátrix és diagonális mátrix esetén elég a főátlóbeli elemeket összeszorozni. Az egységmátrix determinánsa ezért mindig 1.

Csupa 0 sor (vagy oszlop)

Ha a mátrix valamelyik sora (vagy oszlopa) csupa 0, akkor a determinánsa is 0. (Az adott sor vagy oszlop szerinti kifejtés miatt.)

Lineáris összefüggőség

Ha a mátrix sorai (vagy oszlopai) mint vektorok lineárisan összefüggnek – mert például két sor azonos, vagy valamelyik oszlop egy másiknak skalárszorosa –, akkor a determináns 0.

Példa:

${\begin{vmatrix}1&2&3&4\\5&6&7&8\\9&10&11&12\\13&14&15&16\\\end{vmatrix}}=0,$

ugyanis észrevehető, hogy (a negyedik sor) = (a második sor) + (a harmadik sor) – (az első sor), vagyis a példamátrix sorai lineárisan összefüggőek. Ugyanez érvényes az oszlopok esetében is.

Megjegyzés: Az állítás fordítva is fennáll, azaz ha egy mátrix determinánsa 0, akkor a soraiból (oszlopaiból) képzett vektorok lineárisan összefüggnek. Következésképp ha egy mátrix sorai (oszlopai) mint vektorok lineárisan összefüggnek, akkor a mátrix determinánsa 0, és ezért a mátrix oszlopai (sorai) is mint vektorok lineárisan összefüggnek.

Nagyobb mátrix esetén kiszámítása

A 4x4-esnél nagyobb mátrix esetén a mechanikus kiszámítás túl sok műveletet venne igénybe, ezért az ún. L-U felbontást használják,

Elemi tulajdonságai

• Ha egy mátrix két sorát (vagy két oszlopát) felcseréljük, akkor az új mátrix determinánsának az értéke az eredeti (–1)-szerese lesz.
• Egy sor vagy oszlop többszörösének hozzáadása egy másikhoz nem változtat a determinánson.
• ${\mathsf {\det(A\cdot B)=\det(A)\cdot \det(B)}}.$
• Ha a mátrix valamelyik sorának (vagy oszlopának) minden elemét megszorozzuk egy α számmal, akkor a determináns is α-szoros lesz.
• n×n-es mátrix esetén és valamely α skalár mellett ${\mathsf {\det(\alpha A)=\alpha ^{n}det(A)}}.$ Ennek az az oka, hogy az összes elem megszorzása egy számmal ugyanaz, mint az összes sor (vagy oszlop) – amiből n darab van – külön-külön való megszorzása.
• A mátrix transzponálása nem változtatja meg a determináns értékét: ${\mathsf {\det(A^{\mathrm {T} })=\det(A)}}.$
• Az egységmátrix determinánsa 1. Ez alapján az előző szabályokat alkalmazva bármely mátrix determinánsát ki lehet számítani. (A valóságban nem ezt használják.)
• Ha a mátrix valamelyik sora vagy oszlopa csak nullákat tartalmaz, akkor a determináns 0 lesz.

További tulajdonságok

• Invertálható mátrix esetén ${\mathsf {\det(A^{-1})=\left(\det(A)\right)^{-1}}}={\frac {1}{\det(A)}}.$
• Ha egy mátrixnak 0 a determinánsa, akkor nem invertálható.

Szemléletes jelentése

• 

  2×2-es

• 

  3×3-as

• 2×2-es esetben a mátrix sorai mint sorvektorok által kifeszített paralelogramma területe megegyezik a determináns abszolút értékével.
• 3×3-as esetben a mátrix sorai mint sorvektorok által kifeszített paralelepipedon térfogata megegyezik a determináns abszolút értékével.

Alkalmazása

• Cramer-szabály
• A mátrix sajátértékének kiszámítása
• Vegyes szorzat
• Adjungált mátrix

Hivatkozások

• A. G. Kuros: Felsőbb algebra, Tankönyvkiadó, Budapest, 1975
• Wettl Ferenc: Lineáris algebra