Sorozat (matematika)

Formális definíció szerint véges sorozaton a természetes számok egy véges {1, 2, … , n} részhalmazán értelmezett, végtelen sorozaton (régiesen: haladványon) pedig a természetes számok halmazán (általában Z⁺-on) értelmezett függvényt értünk.

A kérdéses természetes számokat (a sorozat értelmezési tartományának elemeit) indexeknek, a hozzájuk rendelt elemeket (a sorozat értékkészletének elemeit) a sorozat tagjainak nevezzük. Egy sorozat (leggyakoribb) jelölése: $(a_{1},a_{2},...)\,$, illetve $(a_{n})\,$.

Időnként szükségünk van a semmilyen elemet nem tartalmazó üres sorozatra. Ennek hossza 0, és ( )-val vagy $\lambda$-val jelölik.

A sorozat fogalmáról és jelöléséről

Szemléletesen, egy sorozaton dolgok (például: számok, függvények) egy listáját értjük, ahol a lista tagjainak sorrendje jól meghatározott. Egy elem többször is (akárhányszor) előfordulhat.

Például a (C,Y,R) betűk egy sorozata, ami különbözik az (Y,C,R)-től, hiszen a sorrend fontos.

Amikor elemek egy sorozatáról beszélünk, akkor lényeges a tagok sorrendisége, rendezettsége, mely egyértelműen meghatározott. Ez a tulajdonság azonban nem alkalmas a sorozat fogalmának egyértelmű meghatározására. A különböző tárgyalási szinteken más és más sorozatfogalommal van dolgunk. Némely, elsősorban metamatematikai jelentőségű elméletben alapfogalomnak tekinthető, de az „alkalmazott” tudományágakban (ide tartozik az akadémikus matematika szinte egésze, mint például a halmazelmélet, az analízis, a számítógéptudomány stb.) általában származtatott fogalom.

Véges és végtelen sorozat

A sorozatok lehetnek végesek, mint az előbbi példában, vagy végtelenek, mint például a pozitív páros számokból (2,4,6…) képezett sorozat. A sorozat tagjait elemeknek (vagy tagoknak) szokás hívni, az elemek számát pedig a sorozat hosszúságának (ami végtelen is lehet).

• véges sorozat – a véges matematikában, a formális nyelvekkel foglalkozó matematikai logikában és informatikában a véges sorozat lényegében a rendezett pár fogalmának általánosítása két elemről tetszőleges $n$ természetes szám elemszámú elemre. Jelölése például: ($a_{1}$,$a_{2}$,…,$a_{n}$)
• végtelen sorozat – ha egy végtelen elemet tartalmazó sorozatra, mint teljes egészre kívánunk hivatkozni, akkor elkerülhetetlen, hogy a végtelen matematikájának fogalmait használjuk, azaz a halmazelméletet. Ekkor a végtelen sorozaton a természetes számok N halmazán értelmezett függvényeket értjük, mely függvények ílymódon maguk is rendezett párok speciális halmazai. Ekkor a sorozat jelölése inkább ${\mbox{ }}_{(a_{n})_{n\in \mathbb {N} }}$ vagy a : N $\rightarrow$ H (ahol H tetszőleges halmaz) ritkábban ($a_{1}$,$a_{2}$,…,$a_{n}$, …)
• általánosított sorozat – a transzfinit matematikában a sorozat fogalma többféleképpen is általánosítható. Nem kell feltennünk, hogy N-en legyen értelmezve egy (általánosított) sorozat. Például elegendő, ha egy olyan rendezett halmazon, mely felfelé irányított vagy egy tetszőleges jólrendezett halmazon, sőt, elég, ha az összes rendszám osztályán értelmezett egyértelmű hozzárendelés. Ekkor is a sorozatokhoz hasonló tulajdonságú fogalmakat kapunk.
• rekurzív sorozatok – ezek akárhány eleme kiszámítható a megelőző elemeinek segítségével. Ezekre természetesen gondolhatunk úgy is, mint halmazelméleti függvényekre, de nem eltekintve lényeges kiszámíthatósági tulajdonságától a rekurzív matematika egy alapfogalmaként is szerepeltethetjük. Egy rekurzív sorozat és egy halmazelméleti sorozat között különbséget tehetünk, amennyiben felfigyelünk arra, hogy a rekurzív sorozatok elemei véges eljárással, konstruktív módon adottak, ellentétben az általános halmazelméleti függvényfogalomtól, mely nem követeli meg semmilyen képlet létezését.

A sorozatok típusai és tulajdonságai

Egy adott sorozat részsorozata egy olyan sorozat, amit az eredeti sorozat néhány elemének elhagyásával kapunk, anélkül hogy az elemek egymáshoz viszonyított sorrendjét megváltoztatnánk.

Ha egy sorozat elemei egy részben rendezett halmaz részhalmazát alkotják, akkor monoton növekvő sorozatnak nevezzük azt a sorozatot, amelyben minden elem nagyobb, vagy egyenlő (≥) az őt megelőző elemnél. Ha minden elem nagyobb (>) az őt megelőző elemnél, akkor a sorozat szigorúan monoton növekvő. A monoton csökkenő sorozatot hasonlóképpen definiáljuk. Ha e kettő közül bármelyik feltételnek eleget tesz a sorozat, akkor monoton sorozatnak nevezhetjük, ami a monoton függvény egy speciális esete. Az esetleges kétértelműségek elkerülése végett használhatjuk a nem-csökkenő, illetve nem-növekvő kifejezéseket is.

Ha a sorozat elemei egész számok, akkor egész sorozatról, ha polinomok, polinom sorozatról beszélünk.

Sorozatok az analízisben

A matematikai analízisben a sorozatokat általában ilyen formában említik:

$(x_{1},x_{2},x_{3},...)\,$ vagy $(x_{0},x_{1},x_{2},...)\,$,

azaz elemek végtelen sorozata, természetes számokkal indexelve. (Néha kényelmes lehet, ha a sorozat nem 1 vagy 0 indexszel kezdődik. Például az $x_{n}={\frac {1}{\mathrm {lg} (n-5)}}$ sorozat csak az $n\geq 7\,$-n értelmezett.) Végtelen sorozatoknál általában elégséges feltenni, hogy a sorozat elemei egy elég nagy $n$ (tehát nagyobb, mint valamilyen adott $N$) indextől kezdve definiáltak.

A legelemibb sorozatok numerikusak, tehát valós vagy komplex számok sorozatai. Általában azonban egy sorozat az értékeit felveheti valamely vektortérből (például az analízisben gyakori esetben függvényterekből vagy topológiai térből), vagy legáltalánosabb esetben absztrakt halmazértékű sorozatokról is beszélünk.

Sorok

Ha adott egy $(x_{n}):=(x_{1},x_{2},x_{3},...)\,$ sorozat, akkor részletösszegei $(S_{1},S_{2},S_{3},...)\,$ sorozata (ahol $S_{n}\,$ a sorozat első $n$ tagjának összege, a részletösszeg) nem más, mint az $(x_{n})\,$-ből képezett sor.

Végtelen sorozatok a számítógép-tudományban

Egy véges halmaz ábécéjéből kiválasztott számjegyek vagy karakterek végtelen sorozatait az elméleti számítógép-tudomány vizsgálja. Gyakran egyszerűen betűsorozatoknak vagy jelsorozatoknak nevezik őket (megkülönböztetve a véges hosszú stringektől vagy karakterláncoktól). Például a végtelen bináris sorozatokat a bitek (a {0,1} ábécéből vett karakterek) végtelen sorozata alkotja. Az összes végtelen bináris sorozatot tartalmazó ${\mathcal {C}}=\{0,1\}^{\infty }$ halmazt Cantor-térnek is nevezik.

Egy végtelen bináris sorozat meghatározhat egy formális nyelvet (karakterláncok egy halmaza), ha a sorozat $n$-edik bitje akkor és csak akkor 1-es, ha az $n$-edik karakterlánc (lexikografikus sorrend szerint) a nyelvhez tartozik. Ezért, a komplexitási osztályok elmélete, amely nyelvek halmazaival foglalkozik, tulajdonképpen végtelen sorozatok halmazait tanulmányozza.

A $\{0,1,...,b-1\}\,$ ábécéből vett végtelen sorozat meghatározhat egy $b$ számrendszerbeli valós számot is. Gyakran éppen ez az ekvivalencia teszi lehetővé a valós analízis eszköztárának felhasználását a komplexitási osztályokon.

Lásd még

• Számtani sorozat
• Mértani sorozat
• OEIS

A sorozat fogalmának általánosításai

• elemrendszer
• Háló (topológia)

Speciális sorozatok

• Nevezetes számsorozatok

Sorozatanalízis

• Numerikus sorozatok

• Cauchy-sorozat
• Sequence space
• Sorozat határértéke
• Sor

További információk

• The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences