Konjunkció

A matematikai logikában konjunkció vagy más néven logikai és alatt egy olyan kétváltozós logikai műveletet értünk, amelynek a logikai értéke pontosan akkor igaz, ha mind a két operandusának igaz a logikai értéke.

Definíció

A p és q ítéletek konjunkcióját a következő igazságtáblázat definiálja:

p	q	∧
igaz	igaz	igaz
igaz	hamis	hamis
hamis	igaz	hamis
hamis	hamis	hamis

ahol $\wedge$ a konjunkció jele.

Tulajdonságai

Tetszőleges $A,B,C$ ítéletek esetén teljesülnek a következő állítások:

• A konjunkció idempotens, azaz

$A\wedge A\equiv A$

• A konjunkció kommutatív, azaz

$A\wedge B\equiv B\wedge A$

• A konjunkció asszociatív, azaz

$A\wedge (B\wedge C)\equiv (A\wedge B)\wedge C$

• A konjunkció disztributív a diszjunkcióra, azaz

$A\wedge (B\vee C)\equiv (A\wedge B)\vee (A\wedge C)$

• A diszjunció disztributív a konjunkcióra, azaz

$A\vee (B\wedge C)\equiv (A\vee B)\wedge (A\vee C)$

• A konjunkcióra és a diszjunkcióra teljesülnek az elnyelési tulajdonságok (abszorptivitás), azaz

$A\vee (A\wedge B)\equiv A$, és

$A\wedge (A\vee B)\equiv A$

• A konjunkcióra és a diszjunkcióra teljesülnek a De Morgan azonosságok, azaz

$\neg (A\wedge B)\equiv (\neg A)\vee (\neg B)$, és

$\neg (A\vee B)\equiv (\neg A)\wedge (\neg B)$

• Végül fennáll a dualitás elve, azaz ha felcseréljük a konjunkciót és a diszjunkciót, valamint az igaz és a hamis logikai konstansokat, akkor az állítás igazságértéke megmarad.

Venn-diagram

"A és B" Venn-diagramja (a piros rész az igaz rész konjunkció esetén)

A többértékű logikákban

A többértékű logikákban a konjunkciót a permanenciaelv szerint úgy terjesztik ki, hogy minél több tulajdonságát megőrizzék. Ezek közül a legfontosabb az asszociativitás és a kommutativitás. Egy többértékű $T(A,B)$ konjunkciónak ezeknek a tulajdonságoknak kell eleget tennie:

• Kommutativitás: $T(A,B)=T(B,A)$
• Asszociativitás: $T(A,(T(B,C))=T(T(A,B),C)$
• Monotónia: $A>B\Rightarrow T(A,C)\geq T(B,C)$
• Egységelem: $T(1,A)=A$

További értelmes, de nem szükséges tulajdonságok a folytonosság és az idempotencia.

A három értékű logikákban bevezethetők például a következő konjunkciók:

Jan Łukasiewicz Ł3 logikájában (1920) a konjunkció kiterjesztése a minimumfüggvény:

$A$	$B$	$A\land B$
1	1	1
1	0,5	0,5
1	0	0
0,5	1	0,5
0,5	0,5	0,5
0,5	0	0
0	1	0
0	0,5	0
0	0	0

Dimitri Analtoljewitsch Bočvar (1938) B3 logikájában:

$A$	$B$	$A\land B$
1	1	1
1	0,5	0,5
1	0	0
0,5	1	0,5
0,5	0,5	0,5
0,5	0	0,5
0	1	0
0	0,5	0,5
0	0	0

Lásd még

• Diszjunkció
• De Morgan-azonosságok
• Logikai kapu

Források

• Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika Logika algebra kombinatorika, Polygon, Szeged (1994)
• https://web.archive.org/web/20050222113037/http://www.inf.u-szeged.hu/oktatas/Tempus/logika.doc