Hippokratész holdacskái

Hippokratész holdacskái

Holdacskák négyszögeknél

Hippokratész holdacskái egy derékszögű háromszöghöz hozzárendelt két síkidom. A síkidomokat úgy kapjuk, hogy a derékszögű háromszög két befogója fölé rajzolt félkörből kivonjuk az átfogó fölé rajzolt – a háromszöget tartalmazó – félkör (avagy a háromszög köré írható kör) és a befogó fölötti félkörök metszetét.

A két holdacska területének összege egyenlő a derékszögű háromszög területével.

Az állítás a Pitagorasz-tétel alapján bizonyítható:

A szokásos jelölésekkel (c az átfogó): $a^{2}+b^{2}=c^{2}$.

A félkörök területe:

$a^{2}\pi /8$

$b^{2}\pi /8$

$c^{2}\pi /8$

Ezt az eredeti egyenletbe belehelyettesítve: $(a^{2}\pi /8)+(b^{2}\pi /8)=c^{2}\pi /8$

Az egyenletet 8-cal szorozva:

$(a^{2}\pi )+(b^{2}\pi )=c^{2}\pi$

Az egyenletet PI-vel osztva:

$a^{2}+b^{2}=c^{2}$

Ezzel bizonyítottuk, hogy az az állítás miszerint derékszögű háromszög befogóira emelt félkörök területének összege azonos az átfogóra emelt félkör területével egyenértékű azzal az állítással, hogy a tetszőleges derékszögű háromszögben a befogók fölé írt négyzetek területeinek összege megegyezik az átfogó fölé írt négyzet területével, ami a Pitagorasz-tétel.

Az átfogóra emelt félkör területe a háromszög területének levonása után (a $(a^{2}\pi /8)+(b^{2}\pi /8)=c^{2}\pi /8$ egyenlőséget kihasználva):

$(a^{2}\pi /8)+(b^{2}\pi /8)-t_{\Delta }$ ahol $t_{\Delta }$ a háromszög területe.

A rajzról leolvasható, hogy a fekete félholdak területe:

$(a^{2}\pi /8)+(b^{2}\pi /8)-((a^{2}\pi /8)+(b^{2}\pi /8)-t_{\Delta })=t_{\Delta }$

A tételt a matematikus Khioszi Hippokratész állította fel. Névrokona Hippokratész, a kószi orvosi iskola vezetője volt.

Hasonlóképpen értelmezhetők a holdacskák húrnégyszögek esetén is.

Források

• Hippokratész holdacskái, Matematikai kislexikon, Budapest, Műszaki Könyvkiadó, 1972