Apollóniusz-kör

Apollóniusz-körök. A piros körök látókörök, minden egy félsíkbeli pontjukból az AB azonos szögben látszik (a félsíkot AB egyenes határozza meg). A kék körök olyan pontokból állnak, amelyeknek A-tól és B-től mért távolságainak aránya megegyezik. Minden kék kör derékszögben metsz minden piros kört.

Az Apollóniusz-kör azoknak a pontoknak a mértani helye a síkban, amelyeknek két adott ponttól mért távolságainak aránya adott (1-től különböző) pozitív szám. Fontos szerepe van a bipoláris koordináta-rendszerekben. Felfedezője, Pergai Apollóniosz görög matematikus után nevezték el. Nem összekeverendő a szintén róla elnevezett Apollóniusz köreivel.

Definíció

Az A és B ponthoz és a $\lambda$ számhoz tartozó Apollóniusz-kör azon P pontok halmaza, amelyekre ${\frac {PA}{PB}}=\lambda$ (ha $\lambda =1$, akkor ez $AB$ felezőmerőlegese, ami tekinthető egy olyan körnek, aminek végtelen távol van a középpontja).

Annak bizonyítása, hogy a pontok kört alkotnak

• 1. lépés:

Legyen $P$ egy olyan pont, amely nincs rajta $AB$ egyenesén, és amelyre ${\frac {PA}{PB}}=\lambda$. Feltehetjük, hogy $PA>PB$ (ekkor $\lambda >1$). $PAB$ háromszögnek $P$-ből induló belső szögfelezője az $AB$ oldalt egy $C$ pontban metszi, külső szögfelezője pedig $\lambda >1$ miatt $AB$-nek $B$-ből induló meghosszabbítását metszi $D$-ben.

Segédtétel:

Ha egy háromszög egyik oldalának az egyenesét a szemközti csúcsból induló (belső vagy külső) szögfelezővel metsszük, akkor a metszéspontnak az oldal végpontjaitól mért távolságai úgy aránylanak egymáshoz, mint a szemközti csúcsból ehhez a végpontokhoz vezető oldalak.

Emiatt $C$ és $D$ a keresett mértani helyhez tartozik.

• 2. lépés:

Be kell látni, hogy a mértani helyek minden $P$ pontja ugyanezen a körön van, ehhez elég megmutatni, hogy az $AB$ egyenes pontjai közül csak $C$ és $D$ tartozik a mértani helyhez. A szögfelezők merőlegesek egymásra, ezért $P$ a $CD$ távolság Thalész-körén van. $\lambda >1$ miatt elég, hogy sem az $AB$ szakaszon, sem a $BD$ félegyenesen nincs más, a mértani helyhez tartozó pont. Ha $C$ az $AB$ távolságon $B$ felé mozog, akkor az ${\frac {AC}{CB}}$ arány nő. Ha $D$ a $BD$ félegyenesen $B$-ből kiindulva mozog, akkor a ${\frac {AD}{DB}}$ arány csökken, ugyanez a helyzet, ha $D$ távolodik $B$-től. Más szóval $C$ és $D$ helyzete egyértelműen meghatározott, vagyis a keresett mértani hely minden pontja a $CD$ szakasz Thalész-körén van.

• 3. lépés:

Be kell bizonyítani, hogy ennek a körnek minden pontja a mértani helyhez tartozik ($C,D$ pontokról tudjuk ezt). Legyen $P$ a körnek egy további pontja. Elég belátni, hogy $PC$ és $PD$ a $PAB$ háromszög szögfelezői, ekkor ${\frac {PA}{PB}}={\frac {CA}{CB}}=\lambda$. Ehhez indirekt tegyük fel, hogy $PAB$ háromszög szögfelezői $PC^{*}$ és $PD^{*}$, ami nem azonos a $PC$ és $PD$ egyenesekkel. $C$ és $D$ választása miatt ${\frac {AC}{CB}}={\frac {AD}{DB}}$ és ${\frac {AC^{*}}{C^{*}B}}={\frac {AD^{*}}{D^{*}B}}$. 1) miatt ez csak úgy lehet, ha vagy $CD$ tartalmazza $C^{*}D^{*}$ távolságot, vagy fordítva. Ekkor viszont $CPD$ szög és $C^{*}PD^{*}$ szög közül az egyik tartalmazza a másikat. Ezzel ellentmondáshoz jutottunk, mivel mindkét szög derékszög (Thalész-tétel vagy a szögfelezők merőlegessége miatt). Tehát $PC,PD$ szögfelezők, ekkor $CD$ Thalész-körének minden pontja a mértani helyhez tartozik.

Tulajdonságai

• A λ arányhoz tartozó Apollóniusz-kör sugara $r_{A}={\frac {\lambda }{|\lambda ^{2}-1|}}{\overline {AB}}$.
• Ha egy Apollóniusz-körre vonatkozó inverzióban A és B egymásba megy át, akkor ebben az inverzióban az összes A-n és B-n átmenő kör önmagába megy át. Ezért minden ilyen kör merőlegesen metszi az összes Apollóniusz-kört.
• Tekintsük most a K Apollóniusz-kört annak egy tetszőleges X pontjával, és az AXB szög szögfelezői által a K körből kimetszett T₁ és T₂ pontokkal. Jelölje továbbá λ a K-hoz tartozó arányt. Ekkor a harmonikus elválasztás kölcsönössége miatt az AB szakaszon átmenő kör a T₁T₂ szakasz Apollóniusz-köre lesz.
• Az előző állítás jelöléseivel: a K kör éppen az a T₁-en és T₂-n átmenő kör, amire A és B inverz pontpárok.

Kapcsolat a projektív geometriával

A sík körei természetes módon megfeleltethetők a háromdimenziós projektív tér pontjainak. Ebben a megfeleltetésben a projektív egyenesek képei a körsorok. Speciálisan, az Apollóniusz-körök és a két ponton átmenő körök is egy-egy körsort alkotnak.

Például a (p,q) középpontú, r sugarú kör egyenlete:

$\displaystyle (x-p)^{2}+(y-q)^{2}=r^{2},$

átírható az

$\displaystyle \alpha (x^{2}+y^{2})-2\beta x-2\gamma y+\delta =0,$

alakba, ahol α = 1, β = p, γ = q, and δ = p² + q² − r². Ez a négy paraméter azonban csak egy skalár erejéig meghatározott, ugyanis ha végigszorozzuk őket egy nem nulla számmal, akkor ugyanazt a kört kapjuk. Így ezek az együtthatók a kör homogén koordinátáinak tekinthetők a körök háromdimenziós projektív terében. Ha α = 0, akkor a kör egyenessé fajul el. Ha α ≠ 0, akkor visszajutunk a kör egyenletéhez a p = β/α, q = γ/α, és az r =√((−δ − β ² − γ²)/α²) együtthatókkal. Itt előfordulhat, hogy a gyökjel alá egy nem pozitív szám kerül; ebben az esetben nullkört, vagy képzetes kört ír le az egyenlet.

Két kör, (α₁,β₁,γ₁,δ₁) és (α₂,β₂,γ₂,δ₂) affin kombinációja a :$\displaystyle z(\alpha _{1},\beta _{1},\gamma _{1},\delta _{1})+(1-z)(\alpha _{2},\beta _{2},\gamma _{2},\delta _{2})$ négyest adja, ahol z szabadon változhat. Ez a két kör által generált körsor. Háromféle körsort különböztetünk meg a körsor generátorainak közös pontjainak száma szerint: az elliptikust, a parabolikust és a hiperbolikust. Valójában a hiperbolikus körsor két pontkört és képzetes köröket is tartalmaz. A két pontkör a körsor Poncelet-pontjai. Az Apollóniusz-körök is ilyen körsort adnak. A koncentrikus körök hiperbolikus körsorának is két tartópontja van: a másik tartópont a végtelenben van. Az erre merőleges körök körsora a két tartópontot összekötő körök, valójában egyenesek körsora.

Inverzió és koordinátarendszerek

Az inverziók a körsorokat körsorokba viszik, sőt a típusukat is megtartják, így elliptikus körsor képe elliptikus, parabolikus körsor képe parabolikus, hiperbolikus körsor képe hiperbolikus lesz.

Egy A közepű körre vonatkozó inverzió az Apollón-köröket B középpontú koncentrikus körökbe viszi. Ugyanez az inverzió az A-n és a B-n átmenő köröket a B-n átmenő egyenesekbe transzformálja. Így az Apollóniusz-körök által meghatározott két pólusú koordinátarendszer polárkoordinátarendszerbe megy át.

Általánosabban, minden körsorhoz van egy egyértelmű hozzá ortogonális körsor. Hiperbolikus körsor ortogonális körsora elliptikus, elliptikus körsor ortogonális körsora hiperbolikus, és parabolikus körsor ortogonális körsora parabolikus. A hiperbolikus körsor ortogonális körsora a Poncelet-pontjain átmenő körök alkotta körsor; elliptikus körsor ortogonális körsora a közös metszéspontok Apollóniusz-köreiből áll; parabolikus körsor ortogonális körsora a vele azonos érintési pontú, de merőleges tengelyű körsor.

Forrás

• http://www.herder-oberschule.de/madincea/aufg0009/harmonie.pdf

Fordítás

Ez a szócikk részben vagy egészben a Kreis des Apollonios című német Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel. Ez a szócikk részben vagy egészben az Apollonian circles című angol Wikipédia-szócikk fordításán alapul. Az eredeti cikk szerkesztőit annak laptörténete sorolja fel.