Kúpszelet

Kúpszeletek

Kúpszeletek táblázata, Cyclopaedia, 1728

A matematikában a kúpszelet olyan síkgörbe, mely egy kúp, pontosabban egyenes körkúp és sík metszeteként jön létre. A kúpszeleteket már i. e. 200 körül felismerték és nevet adtak nekik, amikor is a pergai Apollóniosz tanulmányozta tulajdonságaikat.

A kúpszeletek fajtái

Két jól ismert kúpszelet a kör és az ellipszis. Ezek akkor jönnek létre, ha a kúpot metsző sík a kúp egyik alkotójával sem párhuzamos. A kör az ellipszis speciális esete akkor, ha a sík merőleges a kúp tengelyére. Ha a sík párhuzamos egy, a kúpot alkotóban érintő síkkal, a kúpszelet parabola. Végül, ha egy sík a dupla kúp mindkét palástját metszi, a görbe hiperbola.

Egy palást egy adott P pontján át egyetlen sík létezik, ami merőleges tengelyre, tehát a kúp felszínén egyetlen kör tartalmazza a P pontot. Az alkotó és a tengely által meghatározott síkra merőleges síkok P csúcsú kúpszeleteket metszenek ki, melyek között csak egy parabola van, ám végtelen sok az ellipszis és a hiperbola. A nem ilyen síkok végtelen sok ellipszist, parabolát vagy hiperbolát határoznak meg.

Elfajult esetek

Elfajult esetek akkor keletkeznek, ha a sík a kúp csúcsán megy keresztül, ebben az esetben az áthatási görbe ponttá, egyenessé, vagy két metsző egyenessé fajul, ezeket az eseteket gyakran nem sorolják a kúpszeletek közé.

(Még két elfajult eset létezik. Ezekhez az szükséges, hogy a kúp maga is elfajult legyen: vagyis, ha a kúpalkotó szöge a tengelyhez képest 90° vagy 0°. Ha ez a szög 90°, a kúp belseje által elfoglalt tér az egész háromdimenziós tér, míg a kúpon kívüli tér mindössze a csúcsponton átmenő, a tengelyre merőleges sík. Ugyanezt a síkot metszősíkként is választhatjuk, ekkor a kúpmetszet az egész sík. Másrészt, ha az alkotó és a tengely szöge 0° és a metszősík párhuzamos a kúptengellyel (de nem tartalmazza azt), nincs metszés.)

Kúpszeletek mint mértani helyek

Mindegyik kúpszeletet mértani helyként is lehet definiálni, vagyis minden P pontjuknak meghatározott tulajdonságaik vannak:

• Kör: $dist(P,C)=r$, ahol C egy adott pont (a középpont) és r egy adott állandó távolság, (a sugár).
• Parabola: $dist(P,F)=dist(P,L)$, ahol F egy adott pont (a fókusz) és L egy adott egyenes (a direktrix vagy vezéregyenes), mely nem tartalmazza az F fókuszt.
• Ellipszis: $dist(P,A)+dist(P,B)=d$, ahol A,B két nem egybeeső pont (a fókuszok) és $d>dist(A,B)$ egy adott állandó távolság (a nagytengely)
• Hiperbola: $|dist(P,A)-dist(P,B)|=d$, ahol A,B két nem egybeeső pont (a fókuszok) és $d<dist(A,B)$ egy adott távolság.

A projektív geometriában a kúpszeletek úgy definiálhatók, hogy mindegyik pontjuk egy adott ponttól (fókusz) és egy adott görbétől (direktrix) egyenlő távolságra van.

Excentricitás

A kört leszámítva az előbbiekkel ekvivalens definíciót adhatunk az excentricitás fogalmának segítségével: a kúpszelet azon pontok mértani helye, melyeknek egy egyenestől (a direktrixtől) és egy ponttól (a fókusztól) való távolságuk aránya állandó. Ez az arány az excentricitás, jele általában kis e.

Bizonyítás: A Dandelin-gömb által meghatározott kör síkja (Dandelin-sík) messe a kúpszelet síkját egy d egyenesben (ha a kúpszelet kör, akkor nem létezik ez az egyenes, minden más esetben igen). A kúpszelet tetszőleges P pontjára ${\frac {PF}{PD}}$ arány állandó, ahol F a kúpszelet azon fókusza, ahol a Dandelin-gömb érinti a síkot, D pedig P merőleges vetülete d-re.

${\frac {PF}{PD}}={\frac {PR}{PD}}$

ahol R a P-t tartalmazó alkotó és a Dandelin-gömb érintési pontja.

${\frac {PR}{PD}}={\frac {PM/\cos \beta }{PM/\cos \alpha }}={\frac {\cos \alpha }{\cos \beta }}=e$

állandó, ahol M P merőleges vetülete a Dandelin-síkra, α a metsző sík és a kúp tengelye által bezárt szög, β a kúp félnyílásszöge.

Osztályozásuk az excentricitás nagysága szerint: ha 0<β<90°:

• ha α=90° akkor e=0 és a metszet egy kör vagy egy pont
• ha α>β akkor e<1 és a metszet egy ellipszis vagy egy pont
• ha α=β akkor e=1 és a metszet egy parabola vagy egy egyenes
• ha α<β akkor e>1 és a metszet egy hiperbola vagy egy metsző egyenespár

Descartes-koordináták

A Descartes-féle derékszögű koordináta-rendszerben egy kétváltozós kvadratikus egyenlet mindig kúpszeletet ír le, és az összes kúpszelet leírható ilyen módon. Az egyenlet alábbi alakú lesz:

$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\;$

ahol $A$, $B$, $C$ nem mind zéró.

Kúpszeletek származtatásának szemléltetése

ekkor:

• ha $B^{2}-4AC<0$, az egyenlet ellipszist ír le (hacsak a kúp nem elfajult, például $x^{2}+y^{2}+10=0$);
  • ha $A=C$ és $B=0$, az egyenlet kört ír le;
• ha $B^{2}-4AC=0$, az egyenlet parabolát ír le;
• ha $B^{2}-4AC>0$, az egyenlet hiperbolát ír le;

Megjegyzendő, hogy az A és B csak együtthatók, nem a nagytengely/kistengely hossza.

A koordináta-rendszer megfelelő megválasztásával a kanonikus formába írhatóak át a fenti egyenletek:

• Kör: $x^{2}+y^{2}=a^{2}\,$
• Ellipszis: ${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1$
• Parabola: $y^{2}=4ax\,$
• Hiperbola: ${x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1$

Ezek az alakok szimmetrikusak az x tengelyre és kör, ellipszis és hiperbola esetén az y tengelyre is.

Kanonikus alakra hozás

A kanonikus alak kiszámításához először meg kell határozni a görbe típusát.

A másodrendű görbéket a következő alakban szokták megadni: $x^{T}Ax$, ahol x háromdimenziós vektor, és A háromszor hármas mátrix. Az ilyen alakban megadott görbéket is szokás kúpszeleteknek nevezni, pedig a képzetes ellipszis, párhuzamos egyenespár, párhuzamos képzetes egyenespár, valós-ideális egyenespár, kettős ideális egyenes nem áll elő kúp szeleteként. Ezek a koordináták homogén projektív koordináták, vagyis $(x_{1},x_{2},x_{3})$ ugyanazt a vektort adja, mint $(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\lambda x_{3})$.

A számításokhoz szükség van a következő mennyiségekre:

• Δ=det(A)
• A₃₃=a bal felső 2 x 2-es mátrix determinánsa
• δ = bal felső 2 x 2-es mátrix nyoma
• Γ² = δ² − 4A₃₃.

Centrális kúpszeletek

Ha A₃₃ ≠ 0, akkor a kúpszelet centrális. Ekkor a projektív sík ideális egyenesének a kúpszeletre vett pólusa közönséges pont. Ha [A₁₃,A₂₃,A₃₃] =(adj A)[0, 0, 1]^T, akkor a kúpszelet középpontja (A₁₃/A₃₃). Ezt az origóba eltolva az A mátrix bal felső kétszer kettes része változatlan marad, míg a harmadik sor és oszlop az átlóban levő eleme kivételével kinullázódik, és az abban levő érték Δ/A₃₃.

Ezután egy alkalmasan választott szöggel elforgatva már diagonális mátrixot kapunk, ahol a főátlóban levő értékek (u, v, 1), ahol is a − (δ ± Γ)·A₃₃/2detA értékek egyike a v, és a másika az u.

• Ha u és v is pozitív, akkor a kúpszelet ellipszis, és a szokásos választás u ≤ v
• Ha u és v is negatív, akkor a kúpszelet képzetes ellipszis, és a szokásos választás u ≥ v
• Ha u és v előjele különböző, akkor a kúpszelet hiperbola, és a szokásos választás u > 0 > v.

Ellipszis esetén az ux² + vy² = 1 egyenlet átvihető a

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}$ alakba,

ahol

$a={\sqrt {\frac {2|\mathrm {det} A|}{A_{33}(|\delta |-\Gamma )}}}$ és $b={\sqrt {\frac {2|\mathrm {det} A|}{A_{33}(|\delta |+\Gamma )}}}$

Képzetes ellipszis esetén a képletek ugyanezek.

Hiperbola esetén:

$a={\sqrt {\frac {2|\mathrm {det} A|}{A_{33}(|\delta '|+\Gamma )}}}$ és $b={\sqrt {\frac {2|\mathrm {det} A|}{A_{33}(|\delta '|-\Gamma )}}}$

ahol $\delta '=|\delta |\operatorname {sgn} \det A$

Ha A₃₃=0, akkor a kúpszelet elfajuló. Ekkor a mátrix diagonalizálható, és a diagonális alakban az utolsó szám a nulla. Jelölje a másik két számot u és v! Ekkor a mátrix átskálázható, és konstans szorzó erejéig u és v értéke (δ±Γ)/2.

• Ha u és v előjele azonos, akkor a kúpszelet képzetes egyenespár valós metszésponttal, és a szokásos választás u ≥ v > 0, u⁻¹ + v⁻¹ = 1
• Ha u és v előjele különböző, akkor a kúpszelet valós metsző egyenespár, és a szokásos választás u > 0 > v; u ≤ |v|, u + |v| = 1

Képzetes egyenespár valós metszésponttal esetén a kanonikus alak az ellipsziséhez hasonló:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0$

emiatt ezt a kúpszeletet pontellipszisnek is hívják.

Ebben az alakban

$a={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\Gamma }{\delta }}\right)}}$ és $b={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {\Gamma }{\delta }}\right)}}$

Valós metsző egyenespár esetén a kanonikus alak a hiperboláéhoz hasonló:

${\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=0$

Ebben az alakban

$a={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {|\delta |}{\Gamma }}\right)}}$ és $b={\sqrt {{\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {|\delta |}{\Gamma }}\right)}}$

Tengelyes kúpszeletek

Ha A₃₃ = 0, akkor a kúpszelet tengelyes. Vezessük be a következő jelölést: Π = -δΔ. Hogyha A determinánsa nem nulla, akkor a kúpszelet parabola, egyébként pedig valamilyen egyenespár.

• Parabola esetén δ ≠0, Π > 0 és δ és Δ előjele különböző. A parabola mátrixa egy egy mellékátlós szimmetrikus mátrixba vihető át, ahonnan 1/δ-t kiemelve a mellékátló középső értéke 1, a többi $-p=-{\frac {\sqrt {\Pi }}{\delta ^{2}}}$

• Párhuzamos egyenespár esetén ki kell számítani az ${\frac {A_{11}+A_{22}}{\delta ^{2}}}$ mennyiséget.

• • Ha ez a mennyiség pozitív, akkor a kúpszelet képzetes párhuzamos egyenespár
  • Ha ez a mennyiség negatív, akkor a kúpszelet valós párhuzamos egyenespár
  • Ha ez a mennyiség nulla, akkor a kúpszelet kettős egyenes

A valós-ideális egyenespár kanonikus alakja x = 0, és a kettős ideális egyenes egyenlete már eleve kanonikus alakban van.

Polárkoordináták

Fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húr fele (Semi-latus rectum) ellipszis esetében. (Major axis=nagytengely, minor axis=kistengely)

A fókuszon átmenő, nagytengelyre merőleges húr felét általában l-lel jelölik. Ezt viszonyítják az a fél nagytengelyhez és a b fél kistengelyhez a $al=b^{2}$, vagy $l=a(1-e^{2})$ képlettel.

Polárkoordinátákkal egy kúpszelet a következő egyenlettel adható meg, ha az origó az egyik fókuszban van, a másik pedig, ha létezik, az x tengely pozitív részén:

$r={l \over (1-e\cos \theta )}$.

Mint fent, körre e = 0, ellipszisre 0 < e < 1, parabolára e = 1 és hiperbolára e > 1.

Sajátságok

A kúpszeletek mindig „simák”. Ez pontosabban azt jelenti, hogy soha nincs inflexiós pontjuk, a vonalukban sehol nincs „öböl”. Ez fontos sok alkalmazásnál, például az aerodinamikában, ahol sima felületek szükségesek a lamináris áramlás biztosításához és a turbulencia elkerüléséhez.

Alkalmazások

A kúpszeletek fontosak az asztronómiában: két, egymást kölcsönösen vonzó test pályája kúpszelet, ha a tömegközéppontjukat nyugalomban lévőnek tekintjük. Ha visszatérő pályájuk van, úgy annak alakja ellipszis, ha eltávolodnak egymástól, akkor a pálya parabola vagy hiperbola alakú. (Kéttest-probléma.)

Az optikában a tükrös távcső vagy a fényszóró tükre forgási paraboloid, vagyis olyan felület, mely úgy származtatható, hogy egy parabolát tengelye körül megforgatunk.

Forrás

• Dr. Pattantyús A. Géza: Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.
• J. N. Bronstein - K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987. ISBN 963-10-5309-1
• ELTE Matematikai Intézet