Variáció (matematika)

A variáció a kombinatorikában használt fogalom. Egy (véges) halmaz elemeinek egy variációját úgy kapjuk, hogy néhány nem feltétlenül különböző elemet kiválasztunk, és sorrendbe rakjuk őket: egy ilyen elemsorrend képez egy variációt. Ha k darab elemet választunk ki, akkor k-adosztályú variációkról beszélünk, a halmaz elemszáma pedig a variáció rendje.

Példa: legyenek az elemek {1,2,3,4}; ekkor negyedrendű variációkat képezhetünk. Ha mondjuk harmadosztályú variációkról van szó, akkor ilyenek például (1,2,3) vagy (3,4,4) vagy (1,1,1). Fontos, hogy a variációkban az elemsorrend is számít (ha nem, azaz k elemű részhalmazokat veszünk, azt kombinációnak nevezzük).

A variáció ismétlés nélküli, ha egy elem csak egyszer fordulhat elő benne. Ebben az esetben – ha n a halmaz elemszáma és k-adosztályú variációkat képzünk – szükségképpen k≤n. Egy tipikus példa: hogyan alakulhat egy futóverseny nyolcfős döntőjében a három dobogós sorrendje (a holtverseny kizárásával)? (Itt n=8 és k=3.) Vegyük észre, hogy a szélsőséges k=n esetben a kiválasztásra csak egyféle lehetőségünk marad, vagyis ilyenkor egy-egy variáció megfelel ugyanezen n elem egy-egy permutációjának, és a számuk is azonos. A lenti képletben ilyenkor a nevezőben 0! szerepel, amelynek az értéke 1.

Ismétléses variációkról beszélünk, ha egy elem többször is előfordulhat. Ebben az esetben k és n értéke független egymástól. Tipikus példa: hogyan tölthető ki egy 13+1 sorból álló totószelvény az 1, 2 és x szimbólumok használatával? (Ebben a példában n=3 és k=14.)

Maga a variáció tehát az elemek egy lehetséges rendezett kiválasztását jelenti; a fogalom nem tévesztendő össze a variációk számával, amely azt mutatja meg, hogy hány ilyen variációt képezhetünk.

Matematikailag az A halmaz n-edrendű k-adosztályú variációi felfoghatóak v:{1,2,…,k-1,k}→A leképezéseknek (az ismétlés nélküli variációk pedig ilyen alakú injektív leképezéseknek).

Számuk

• Az $n$ elem $k$-adosztályú ismétlés nélküli variációinak száma (jelölje $V_{n}^{k}$): $V_{n}^{k}={\frac {n!}{(n-k)!}}=n(n-1)\ldots (n-k+1)$,

  ahol a ! a faktoriális jele. (A második alakot, amely gyakorlati célokra sokszor alkalmasabb, úgy kaphatjuk meg, hogy a tört számlálóját és nevezőjét a faktoriális definíciója szerint szorzatalakba írjuk, majd elvégezzük az egyszerűsítést. De gondolkodhatunk úgy is, hogy az első helyre még az n elem bármelyikét választhatjuk, a másodiknál már csak n-1 lehetőségünk van stb.)

• Az $n$ elem $k$-adosztályú ismétléses variációinak száma (jelölje $V_{n}^{k,i}$): $V_{n}^{k,i}=n^{k}$

A fenti példáknál tehát a variációk száma így alakul: a futóverseny dobogósainak sorrendje $V_{8}^{3}$ = 8·7·6 = 336-féle lehet, a totószelvényt pedig $V_{3}^{14,i}$ = 3¹⁴ = 4 782 969-féleképpen tölthetjük ki.

Lásd még

• kombináció
• permutáció