Harmonikus sor

A matematikában harmonikus sornak nevezzük a $\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}$ divergens sort.

Jelentősége

Az elnevezésnek az a forrása, hogy egy h hullámhosszú hang felhangjának a hullámhosszai h/n (n=2,3,...). A

$\sum _{n=1}^{\infty }\left(h/n\right)$

sor tehát tartalmazza a hangot az összes felhangjával együtt. Mivel a felhangokat több nyugati nyelven harmonikusoknak is nevezik, így a sor harmonikus.

Konkrétan h/2,h/3,...,h/8 rendre az oktáv, az oktáv és kvint, a második oktáv, a két oktáv és nagy terc, a két oktáv és kvint, a két oktáv és szeptim, valamint a harmadik oktáv hullámhosszai.

A divergencia bizonyítása

Ha a sor n-edik részletösszege s_n, akkor

$s_{2n}-s_{n}=\left(1+{\frac {1}{2}}+...+{\frac {1}{2n}}\right)-\left(1+{\frac {1}{2}}+...+{\frac {1}{n}}\right)=\left({\frac {1}{n+1}}+...+{\frac {1}{2n}}\right)\geq {n}\cdot {\frac {1}{2n}}={\frac {1}{2}}$

minden n-re. Tegyük fel, hogy a sor konvergens és az összege A. Ekkor $n\rightarrow \infty$ esetén $s_{2n}-s_{n}\rightarrow A-A=0$, ami lehetetlen.

Következmények

Végtelen sok prímszám létezik

Mivel a harmonikus sor az összes pozitív egész szám reciprokát tartalmazza, várható, hogy a sor viselkedésének számelméleti vonatkozásai is vannak. Ez valóban így van. A harmonikus sor divergenciáját felhasználva új bizonyítást adhatunk arra, hogy végtelen sok prímszám létezik. Tegyük fel ugyanis, hogy csak véges sok prím van, és legyenek ezek $p_{1},...,p_{k}$. Minden i-re és N-re fennállnak az

$1+{\frac {1}{p_{i}}}+...+{\frac {1}{p_{i}^{N}}}={\frac {1-p_{i}^{-\left(N+1\right)}}{1-{\frac {1}{p_{i}}}}}<{\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{i}}}}}$

összefüggéseket. Ezeket összeszorozva azt kapjuk, hogy

$\prod _{i=1}^{k}\left(1+{\frac {1}{p_{i}}}+...+{\frac {1}{p_{i}^{N}}}\right)<\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{i}}}}}$

minden N-re. Ha a bal oldalon elvégezzük a szorzást, akkor minden olyan szám reciprokát megkapjuk, amelynek a prímtényezős felbontásában minden prím kitevője legfeljebb N (hiszen az indirekt feltevés szerint nincs más prím $p_{1},...,p_{k}$-n kívül). Nyilvánvaló, hogy N-ig minden szám ilyen, tehát

$\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=s_{N}<\prod _{i=1}^{k}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{i}}}}}$.

Ez azonban lehetetlen, hiszen

$s_{N}\rightarrow \infty$, ha $N\rightarrow \infty$.

A prímszámok reciprokaiból alkotott sor divergens

Az előző bizonyítást felhasználva, annak jelöléseit használva bizonyíthatjuk azt is, hogy a prímszámok reciprokaiból alkotott sor is divergens. Hiszen a fentiek alapján

$\prod _{i=1}^{N}\left(1+{\frac {1}{p_{i}}}+...+{\frac {1}{p_{i}^{N}}}\right)<\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{i}}}}}$

is fennáll minden N-re. Ha a bal oldalon elvégezzük a szorzást, akkor itt minden olyan szám reciprokát megkapjuk, amelyiknek a prímtényezős felbontásában az első N prím szerepel, és mindegyik kitevője is legfeljebb N. Nyilvánvaló, hogy N-ig minden szám ilyen, tehát

$\sum _{n=1}^{N}{\frac {1}{n}}=s_{N}<\prod _{i=1}^{N}{\frac {1}{1-{\frac {1}{p_{i}}}}}=\prod _{i=1}^{N}\left(1+{\frac {1}{p_{i}-1}}\right)$.

Mivel $0<1+{\frac {1}{p_{i}-1}}$, vehetjük a két oldal természetes alapú logaritmusát, és becsülhetjük a jobb oldalon a tagokat $\ln {x}\leq x-1$-gyel:

$\ln \left(s_{N}\right)<\sum _{i=1}^{N}\ln \left(1+{\frac {1}{p_{i}-1}}\right)\leq \sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{p_{i}-1}}=1+\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{p_{i+1}-1}}<1+\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{p_{i}}}$

Tehát ha $N\rightarrow \infty$, akkor $s_{N}\rightarrow \infty$, $\ln \left(s_{n}\right)\rightarrow \infty$, továbbá $1+\sum _{i=1}^{N}{\frac {1}{p_{i}}}\rightarrow \infty$.

Emiatt a $\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{p_{i}}}$ sor divergens.

Forrás

• Laczkovich Miklós–T. Sós Vera: Analízis II. ISBN 978-963-19-6084-6