Riemann-féle zéta-függvény

A Riemann-féle zéta-függvény a számelmélet, ezen belül az analitikus számelmélet legfontosabb komplex változós függvénye. Különböző tulajdonságai szorosan összefüggenek a prímszámok eloszlásának kérdéseivel. A nemtriviális zérushelyeire vonatkozó Riemann-sejtés sokak szerint a matematika legfontosabb megoldatlan problémája.

Definíció

A Riemann-féle ζ(s) függvényt a

$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

Dirichlet-sorral definiáljuk ott, ahol ez konvergens, azaz az 1-nél nagyobb valós résszel rendelkező komplex s értékekre. (Az analitikus számelméletben a komplex számokat hagyományosan s=σ+it alakban írják.)

ζ(s) analitikus folytatással az egész síkon meromorf függvénnyé terjeszthető ki, az alábbi módon:

$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s)\!,$

Aminek egyetlen elsőrendű pólusa 1-ben van, az s=-2, -4, … ( ahol a szinusz nulla, és a gamma-függvény véges értéket vesz fel) helyeken zérushelyei vannak, továbbá végtelen sok zérushelye van a $0\leq \sigma \leq 1$ sávban. Ez az úgynevezett kritikus sáv.

A függvény értékei egész helyeken

A zéta-függvény értékeit pozitív, páros helyeken Euler határozta meg:

$\zeta (2n)=(-1)^{n+1}{\frac {B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}$

ahol $B_{n}$ az n-edik Bernoulli-szám.

Speciálisan adódik a híres

$\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}={\frac {\pi ^{2}}{6}}$

formula, aminek meghatározása sokak hiábavaló próbalkozása után, először Eulernek sikerült (ez volt az úgynevezett Basel-probléma). Ismert továbbá, hogy $\zeta (2n)$ $\pi ^{2n}$ racionális többszöröse.

A $\zeta (3),\zeta (5),\zeta (7),\dots$ értékekről sokkal kevesebbet tudunk. Hosszú ideig az is ismeretlen volt, hogy $\zeta (3)$ irracionális szám-e. Ezt végül 1977-ben Apéry bizonyította be. 2001-ben Keith Ball és Tanguy Rivoal igazolta, hogy a Q feletti, $\zeta (3),\zeta (5),\dots$ által generált vektortér végtelendimenziós. 2002-ben Rivoal bebizonyította, hogy $\zeta (5),\zeta (7),\dots ,\zeta (21)$ valamelyike irracionális. Ezt V. Zudilin megjavította arra az eredményre, hogy $\zeta (5),\zeta (7),\zeta (9),\zeta (11)$ valamelyike irracionális. Bizonyított még, hogy $\zeta (2n+1)$végtelen sok helyen irracionális.

Euler heurisztikája

A $\zeta$-függvény nempozitív egész helyein felvett értékei a következőképpen adhatók meg:

$\zeta (0)=-{\frac {1}{2}}$ és $\zeta (1-k)=-{\frac {B_{k}}{k}}\quad (k=2,3,\dots )$.

Érdekes módon az utóbbi értékeket Euler heurisztikus módon meghatározta. A $\zeta (-1)$-re vonatkozó okoskodása, azaz $1+2+3+\cdots =-{\frac {1}{12}}$ „igazolása” a következő volt:

Legyen $x=1-1+1-1+1\cdots$. Ezt egy taggal eltolva $x=0+1-1+1-1+\cdots$ adódik. A két sort tagról tagra összeadva $2x=1$-et kapunk, azaz $x={\frac {1}{2}}$. Hasonlóan legyen $y=1-2+3-4+\cdots$. Ismét eltolva: $y=0+1-2+3-4+\cdots$. Megint tagonként összeadva a két sort, azt kapjuk, hogy $2y=1-1+1-1+\cdots =x={\frac {1}{2}}$, azaz $y={\frac {1}{4}}$. Legyen végül $z=1+2+3+\cdots$. Ekkor $z=y+4z$, mivel az $1-2+3-4+\cdots$ sorból az $1+2+3+\cdots$ sort úgy kaphatjuk, hogy a páros sorszámú tagokhoz rendre hozzáadjuk a sor $4+8+12+\cdots =4(1+2+3+\cdots )$ tagjait. Innen $z=-{\frac {y}{3}}=-{\frac {1}{12}}$ adódik.

Kapcsolat a prímszámok eloszlásával

Már Euler felfedezte a

${\begin{aligned}\zeta (s)&=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\\&=\left(1+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{8^{s}}}+\dots \right)\cdot \left(1+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{9^{s}}}+{\frac {1}{27^{s}}}+\dots \right)\cdots \end{aligned}}$

szorzatelőállítást, ami konvergens minden olyan s=σ+ti alakú komplex számra, ahol σ>1. Itt a p változó a prímszámokon fut végig. Valóban, ha a jobb oldali összegeket kiszorozzuk, akkor, a számelmélet alaptételének értelmében minden $1/n^{s}$ alakú tagot megkapunk, éspedig pontosan egyszer. Az átrendezés jogosságát az adja, hogy a feltétel miatt a szereplő sor abszolút konvergens.

A függvényegyenlet

A függvényegyenlet összekapcsolja a függvény értékeit az s és az 1-s helyeken. Vezessük be a

$\xi (s)=\pi ^{-s/2}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)$

függvényt. A $\xi (s)$ függvény az egész komplex számsíkon analitikus és csak a kritikus sávban vannak zérushelyei (amelyek azonosak a zéta-függvény zérushelyeivel). Ekkor $\xi (s)=\xi (1-s)$ teljesül.

A függvényegyenlet aszimmetrikus formája:

$\zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\Gamma (1-s)\zeta (1-s).$

A $\xi (s)$ függvény Weierstrass-féle szorzatelőállítása:

$\xi (s)={\frac {1}{2}}e^{(-{\frac {\gamma }{2}}-1+{\frac {1}{2}}\log 4\pi )s}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)e^{\frac {s}{\rho }}$

ahol $\rho$ végigfut $\zeta (s)$ nemtriviális gyökein.

A gyökök kapcsolata a prímszámok eloszlásával

A gyökök közvetlen kapcsolatba hozhatók a prímszámok eloszlásával a következő képlettel:

$\psi (x)=x-{\frac {\zeta '(0)}{\zeta (0)}}-\sum _{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-{\frac {1}{2}}\log(1-x^{-2})$

ahol $\rho$ a nemtriviális gyökökön fut végig és

$\psi (x)=\sum _{n\leq x}\Lambda (n),$

ahol $\Lambda (n)$ a von Mangoldt-féle függvény, azaz $\Lambda (n)=\log p$, ha $n=p^{\alpha }$, egyébként 0. Mivel $\psi (x)$ a prímhatvány helyeken ugrik, a fenti képlet ezekre a számokra csak azzal a korrekcióval igaz, hogy ilyen x esetén az utolsó tag $\Lambda (x)$ helyett $\Lambda (x)/2$. Egyszerű okoskodással belátható, hogy $\psi (x)$ minél közelebb van $x$-hez, annál közelebb van $\pi (x)$ ${\text{Li}}(x)$-hez. Így például ψ(x)∼x ekvivalens π(x)∼Li(x)-szel, azaz a prímszámtétellel. A jobb oldalon szereplő $x^{\rho }/\rho$ tagok $\rho =\alpha +it$ esetén így alakíthatók: $x^{\alpha }e^{it\log x}/\rho$ tehát abszolút értékük kb $x^{\alpha }$. Minél közelebb van a nemtriviális gyökök valós része ½-hez, annál közelebb van $\psi (x)$ $x$-hez. Konkrétan ψ(x)∼x ekvivalens azzal, hogy nincs $1+it$ alakú gyök és ha $1/2\leq \alpha <1$ olyan szám amire igaz, hogy minden gyök valós része legfeljebb $\alpha$, akkor $\psi (x)=x+O(x^{\alpha }\log ^{2}x)$ és így $\pi (x)={\text{Li}}(x)+O(x^{\alpha }\log x)$.

A gyökök eloszlása

A ζ-függvénynek végtelen sok zérushelye van a kritikus sávban. Riemann sejtette, hogy a $0\leq \sigma \leq 1$, $0\leq t\leq T$ téglalapban a zérushelyek száma

$N(T)={\frac {T}{2\pi }}\log {\frac {T}{2\pi }}-{\frac {T}{2\pi }}+O(\log T).$

Ezt von Mangoldt 1895-ben gyengébb hibataggal, majd 1905-ben ezzel a hibataggal bizonyította.

1899-ben de la Vallée Poussin igazolta, hogy nincs zérushely a

$\sigma >1-{\frac {c}{\log t}}$

tartományban. Ezt Littlewood 1922-ben a

$\sigma >1-{\frac {c\log \log t}{\log t}}$

tartományra, majd 1958-ban Korobov és Vinogradov a

$\sigma >1-{\frac {c(\varepsilon )}{(\log t)^{2/3+\varepsilon }}}$

tartományra javította ($\varepsilon >0$, tetszőleges).