Harmonikus szám

A Wikipédiából, a szabad enciklopédiából
Ugrás a navigációhoz Ugrás a kereséshez

A matematikában az n-edik harmonikus szám az első n pozitív egész szám reciprokának az összege:

Ez egyébként egyenlő ezen számok harmonikus közepe reciprokának az n-szeresével.

Harmonikus szám , (vörös vonal) és az aszimptotikus korlátja (kék vonal)

A harmonikus számokat már az ókorban is tanulmányozták, és a számelméletben fontos szerepet töltenek be. A harmonikus sor részletösszegei, és szorosan kapcsolódnak a Riemann-féle zéta-függvényhez. Amikor egy nagy volumenű mennyiség a Zipf-törvény szerinti eloszlást mutat, a legértékesebb tétel az n-edik harmonikus. Ez számos meglepő eredményhez vezet a hosszú farok- és a hálózatelméletben.

Képletek[szerkesztés]

Az integrállal történő kifejezés Eulertől ered:

A fenti egyenlőség nyilvánvalóan következik az alábbi egyenlőségből:

Elegáns kombinatorikai kifejezés nyerhető -re, felhasználva egy egyszerű transzformációt: :

Hasonló kifejezés nyerhető a harmadik Retkes-azonosság felhasználásával:

, és felhasználva a tényt: .

Hn közel úgy nő, mint az n természetes logaritmusa. Ennek az oka, hogy az összeg közelíthető egy integrállal:

melynek értéke: ln(n).

Hn - : ln(n) sor monoton csökken a korlátja felé:

(ahol γ az Euler–Mascheroni-konstans: 0,5772156649...), és a megfelelő aszimptotikus kiterjesztés, amint :

ahol a Bernoulli-számok.

Generáló függvények[szerkesztés]

A harmonikus számok generáló függvénye:

ahol a természetes logaritmus. Egy exponenciális generáló függvény:

ahol a teljes exponenciális integrál.

Megjegyezzük, hogy:

ahol az inkomplett gamma-függvény.

Alkalmazások[szerkesztés]

A harmonikus számok számos alkalmazásban megtalálhatók, mint például a digamma-függvénynél: Ezt a kifejezést gyakran használják harmonikus számok kiterjesztésénél nem egész n-re. A harmonikus számokat gyakran használják a γ meghatározásához, felhasználva az előző fejezetben bevezetett korlátot:

mely gyorsabban konvergál.

2002-ben Jeffrey Lagarias bebizonyította, hogy a Riemann-hipotézis egyenlő a következő állítással:

igaz minden n ≥ 1 egész számra; szigorú egyenlőtlenséggel, ha n > 1. Itt σ(n) az n osztó összege.

Általánosítás[szerkesztés]

Az általánosított harmonikus szám:

n a végtelenbe tart, ha . Más kifejezésben:

A speciális esetben, amikor , csak egyszerűen harmonikus számnak hívják, és gyakran index nélkül jelölik, mint itt:

Ha a korlát , az általánosított harmonikus szám a Riemann-féle zéta-függvényhez konvergál:

Az általánosított harmonikus számok generáló függvénye:

ahol a polilogaritmus és |z| < 1. A fent megadott képletnél az m=1 egy speciális eset.

Irodalom[szerkesztés]

  • Arthur T. Benjamin, Gregory O. Preston, Jennifer J. Quinn: A Stirling Encounter with Harmonic Numbers. (hely nélkül): Mathematics Magazine, 75 (2). 2002.  
  • Peter Paule and Carsten Schneider: Computer Proofs of a New Family of Harmonic Number Identities. (hely nélkül): Adv. in Appl. Math. 31 (2). 2003. 359–378. o.  
  • Zoltán Retkes: An Extension of the Hermite–Hadamard Inequality. (hely nélkül): Acta Sci. Math. (Szeged). 2008. 95–106. o.  

Kapcsolódó szócikkek[szerkesztés]