Diszjunkt halmazok

Két diszjunkt halmaz

A matematikában két halmazról akkor mondjuk, hogy diszjunkt halmazok, ha nincs közös elemük.

Például {1, 2, 3} és {4, 5, 6} diszjunkt halmazok.

A szó latin eredetű: disjunctio elválást, elválasztást jelent.

Magyarázat

Formálisan két halmaz, A és B akkor diszjunktak, ha metszetük üres halmaz, azaz ha:

$A\cap B=\emptyset .\,$

Ez a definíció kiterjeszthető halmazok tetszőleges készletére. Egy halmazkészlet párosan diszjunkt vagy kölcsönösen diszjunkt, ha egy készletben van két halmaz, és ezek diszjunktak. Formálisan, legyen I egy halmazrendszer, és minden i-re az I-ben legyen A_i egy halmaz. Ekkor {A_i : i ∈ I} halmazcsalád páronként diszjunkt, ha bármely i és j-re az I-ben: i ≠ j,

$A_{i}\cap A_{j}=\emptyset .\,$

Például az { {1}, {2}, {3}, ... } halmazkészlet páronként diszjunkt. Ha {A_i} egy páronként diszjunkt készlet (legalább két halmazt tartalmaz), akkor a metszetük (közös részük) üres:

$\bigcap _{i\in I}A_{i}=\emptyset .\,$

A fordítottja azonban nem igaz: {{1, 2}, {2, 3}, {3, 1}} készlet közös része üres, de a készlet nem páronként diszjunkt. Gyakorlatilag ebben a készletben nincs két diszjunkt halmaz.

X felbontásakor X bármely nem üres részhalmaz-készlete {A_i : i ∈ I} úgy, hogy {A_i} páronként diszjunkt, és

$\bigcup _{i\in I}A_{i}=X.\,$

Források

• Dancs István: Halmazelmélet. (hely nélkül): Aula Kiadó Kft. 2001. ISBN 9639345520  
• Weisstein, Eric: CRC Concise Encyclopedia of Mathematics. (hely nélkül): CRC Press. 1999.  

Kapcsolódó szócikkek

• Halmazelmélet
• Halmaz
• Valószínűségelmélet
• Méréselmélet
• Számosság
• Diszjunkt unió