Ciklikus csoport

Ciklikus csoporton a csoportelméletben olyan csoportot értünk, melyet egy elemének egész kitevős hatványai előállítanak.

A ciklikus csoportok a leginkább átlátható algebrai szerkezetű, legkezelhetőbb csoportok közé tartoznak. Az m elemű (m pozitív egész szám) ciklikus csoportok izomorfak a modulo m maradékosztályok additív csoportjával (Z_m={0,1,…,m-1}-gyel), a végtelen elemszámú ciklikus csoportok pedig magával az egész számok additív csoportjával (Z illetve Z⁺). A véges csoportok osztályozásának elméletében nagy jelentősége van a ciklikus csoportoknak, mert minden prím elemszámú csoport ciklikus csoport, amikből minden véges Abel-csoport felépíthető.

A ciklikus csoportok Abel-csoportok, ezért additív jelöléssel is találkozhatunk.

Definíció

A ciklikus csoport definíciójának felírása előtt vissza kell utalnunk a csoportbeli egész kitevős hatványozás illetve a generált részcsoport fogalmára.

Definíció. Azt mondjuk, hogy a (G,$\cdot$) csoport ciklikus, ha van olyan G-beli a elem, melyre

$G=\{a^{n}\mid n=0,\pm 1,\pm 2,...\}$

Ekkor a-t a G (egyik) generátorelemének nevezzük.

Megjegyzés. A definíció egy ekvivalens megfogalmazása, hogy G akkor és csak akkor ciklikus, ha létezik olyan a eleme, hogy az a-t tartalmazó egyetlen G-beli részcsoport maga G, azaz létezik a ∈ G, hogy minden G-beli H részcsoportra

$a\in H\Rightarrow H=G.$

Ebben az esetben tehát a generálja G-t, vagyis

$\left\langle a\right\rangle =G.$

Világos, hogy

$\left\langle a\right\rangle =\lbrace a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \rbrace ,$

ugyanis egyrészt a hatványozás csoportbeli azonosságainak felhasználásával belátható, hogy

$\forall \;b,c\!\in \!\{a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}\;\;b\cdot c^{-1}\!\in \!\langle a\rangle$

tehát

$\{a^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}$

részcsoport G-ben, másrészt ez a legszűkebb a-t tartalmazó részcsoport, hiszen minden G-beli H részcsoport tartalmazza a és a⁻¹ összes nemnegatív egész kitevőjű hatványát.

Példák

1. Az egész számok halmaza az összeadásra nézve ciklikus csoportot alkot, mely egybeesik az egész számok gyűrűjének additív csoportjával, azaz Z⁺-szal. Ebben a csoportban generátorelem az 1 ∈ Z⁺ szám:

$\mathbb {Z} ^{+}=\{1\cdot n\mid n\in \mathbb {Z} \}$

Hasonlóképpen generátorelem még a (-1) ∈ Z⁺ szám is.

Megjegyzés. Az 1$\cdot$n jelölés additív, abban az értelemben, hogy a hatványozás szokásos csoportelméleti jelölése helyett (aⁿ) a + jelhez adekvát a + a + … + a = n$\cdot$a, n tagú összeg alakjában szerepelnek a generált csoport elemeit.

2. Ha m nemnulla természetes szám, akkor a Z / mZ faktorcsoport a + komplexusösszeggel ellátva ciklikus csoportot alkot. Z / mZ (más jelöléssel Z_m) a modulo m maradékosztályok additív csoportja. Az mZ komplexus az m-mel osztható egész számok részcsoportja, Z / mZ pedig egyenlő az

$\{m\mathbb {Z} +r\mid \ r=0,1,...,m-1\}$

mellékosztályok halmazával, ahol r = 0, 1, …, m-1 az m-mel való osztás maradéka (mZ + r pedig a Z következő részhalmaza, vagy más néven komplexusa: {mq + r | q ∈ Z} )

3. Ha p prím, akkor Z_p nemnulla elemei ciklikus csoportot alkotnak a „maradékok” szorzásával, mint csoportművelettel ellátva. Ekkor a Z / pZ faktorgyűrű multiplikatív része

$\mathbb {Z} _{p}^{*}=\mathbb {Z} _{p}\setminus \{0\}$

éppen p-1 elemű, és generátoreleme bármely nem 1 elem. (Sőt, az is igaz, hogy ekkor Z_p egy p elemű véges, kommutatív test.)

4. Vegyük az n oldalú szabályos sokszög összes olyan saját magára történő leképezéseit, melyek megtartják a körüljárási irányt. Ezen leképezések ciklikus csoportot alkotnak a leképezések egymásutánjával, mint művelettel ellátva. A csoport elemszáma n, generátoreleme a 2π / n szögű elforgatás.

Minden ciklikus csoport izomorf vagy az egész számok, vagy a maradékosztályok additív csoportjával mod n, ahol n egész.

Elem rendje – ciklikus részcsoport rendje

A ciklikus csoportok esetén nagy jelentősége van az elemek rendjének.

Definíció. Ha G csoport, e a neutrális eleme és a ∈ G, akkor az a elem rendjének nevezzük azt a legkisebb pozitív egész k számot, melyre

$a^{k}=e\,$

Az a elem rendjét

$o(a)\,$

-val jelöljük.

Ekvivalens megfogalmazás: elem rendje az elem által generált részcsoport rendje.

Az $o(a)\,$ jelölés a „kis ordó” függvényből ered. Szintén elterjedt jelölés az abszolútérték-jel is: |a|

Tulajdonságok

• A ciklikus csoportok Abel-csoportok
• Egy ciklikus csoporthoz több elem lehet, amivel generálható. $\mathbb {Z}$ generátorai +1 és -1; $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ generátorai a redukált maradékosztályok, vagyis az $n$-hez relatív prím maradékosztályok. Számuk megadható az Euler-féle φ függvénnyel.
• Ha d osztója n-nek, akkor a d rendű elemek száma az n rendű csoportban:

${\Big |}\{a\in \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} |{\text{o}}(a)=d\}{\Big |}$

Más elemrend nincs.

• Egy a elem rendje:

o(a) = n / legnagyobb közös osztó(n,a).

• Két ciklikus csoport direkt szorzata (additív jelölés esetén direkt összege) akkor és csak akkor lesz újra ciklikus, ha rendjeik relatív prímek. Ekkor a csoportok rendjei összeszorzódnak.
• Minden végesen generált Abel-csoport ciklikus csoportok direkt szorzata (vagy direkt összege).

Részcsoportok és faktorcsoportok

Ciklikus csoport összes részcsoportja és faktorcsoportja újra ciklikus. Példa: az m-mel osztható egész számok részcsoportja $m\mathbb {Z}$, aholm természetes szám. Különböző m-ekre különbözőek ezek a csoportok, és m≠0 esetén izomorfak $\mathbb {Z}$-vel. Az ilyen csoporttal vett faktorcsoportok éppen a maradékosztályok csoportjai.

$\mathbb {Z}$ részcsoportjainak hálója izomorf a természetes számok oszthatósági hálójának duálisával. $\mathbb {Z}$ minden faktorcsoportja véges, kivéve a $\mathbb {Z} /\{0\}$ triviális faktorcsoportot.

A $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ csoportnak minden 0 < d osztója n-re van egy 'd rendű részcsoportja, amit az n/d elem generál: {kn/d | k=0, ..., d-1}. Minden d pozitív osztóra egy, és csak egy részcsoport létezik, és más részcsoport nincs. Ezért az n rendű ciklikus csoport részcsoporthálója izomorf n oszthatósági hálójával.

Egy ciklikus csoport akkor és csak akkor egyszerű, ha rendje prímszám.

Algebrai tulajdonságok

Ha n természetes szám, akkor a $(\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{*}$ multiplikatív csoport akkor és csak akkor ciklikus, ha n 2, 4, p^k vagy 2p^k, ahol p páratlan prím, és k természetes szám. Ezeknek a generátorai a primitív gyökök modulo n.

Minden p prímre a $(\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )^{*}$ p-1-edrendű multiplikatív csoport ciklikus. Általában, minden véges test multiplikatív csoportja ciklikus.

Egy véges test véges testbővítéseinek Galois-csoportja véges ciklikus csoport. Megfordítva, minden véges K testhez és minden véges Galois-csoporthoz létezik L/K testbővítés, aminek Galois-csoportja éppen G.

Endomorfizmusok és automorfizmusok

Az n-edrendű ciklikus csoport endomorfizmusainak gyűrűje izomorf a $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ maradékosztály-gyűrűvel. Ebben az izomorfizmusban az r maradékosztály annak az izomorfizmusnak felel meg, ami minden elemet az r-edik hatványra emel. Következik, hogy az n-edrendű ciklikus csoport automorfizmuscsoportja izomorf a $\mathbb {Z} /n\mathbb {Z}$ gyűrű multiplikatív csoportjával. Ez a csoport azokból az elemekből áll, amik relatív prímek n-hez, ezért ez a csoport φ(n) rendű.

A $\mathbb {Z}$ ciklikus csoport endomorfizmusainak gyűrűje izomorf a $\mathbb {Z}$ gyűrűvel, automorfizmuscsoportja pedig izomorf a {+1, -1} egységcsoporttal, ami egy 2 rendű ciklikus csoport.

Ciklikus csoportok osztályozási tétele

A G ciklikus csoport esetén az

$exp_{g}:\mathbb {Z} \rightarrow G;\;n\mapsto g^{n}$

leképezés szürjektív csoporthomomorfizmus Z⁺ és G között, amennyiben g a G csoport egy generátoreleme.

Állítás. Ha a G ciklikus csoport végtelen rendű, akkor tetszőleges g ∈ G esetén az exp_g leképezés Z⁺ $\rightarrow$ G izomorfizmus.

Ugyanis, két tetszőleges egész szám közül a nem nagyobbat m-mel, a nem kisebbet n-nel jelölve, tegyük fel, hogy gⁿ = g^m. Szorozzunk be g^-m-mel: g^n-m = e. Vagyis g legfeljebb n-m -ed (nemnegatív szám) rendű elem, de g hatványai előállítják G-t, mely végtelen elemszámú, így n-m más véges szám nem lehet, csak 0, amiből n=m következik. exp_g tehát injektív.

Tétel – Osztályozási tétel – A G ciklikus csoport izomorf

Z-vel, ha végtelen rendű és

Z_m-mel, ha m-edrendű (m pozitív természetes szám).

Forrás

• Kiss Emil: Bevezetés a csoportelméletbe