Egységmátrix

A lineáris algebrában az egységmátrix (vagy n-edrendű egységmátrix) olyan n × n-es négyzetes mátrix, melynek főátlójában csupa 1-esek, a többi helyen 0-k szerepelnek. Az egységmátrixot gyakran I_n-nel, E_n-nel vagy ha n adott, akkor I-vel vagy E-vel jelölik. (Néhány területen, például a kvantummechanikában megvastagított 1-gyel is jelölik 1).

$I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}$

Definiáló tulajdonság

Ha T test és M_n(T) a T feletti n × n-es mátrixok algebrája, akkor egyetlen olyan $I$ ∈ M_n(T) mátrix van, melyre teljesül, hogy minden A ∈ M_n(T)-re:

$IA=AI=A\,$

és ez az n-edrendű egységmátrix.

Ugyanis világos, hogy a diagonális, a főátlójában csupa egyest tartalmazó mátrix rendelkezik a fenti tulajdonsággal, továbbá ha lenne két ilyen, mondjuk $I$ és $I$*, akkor az $I$ = $I$ $\cdot$ $I$* = $I$* $\cdot$ $I$* = $I$* egyenlőség miatt ezek egyenlők lennének. Az egyetlen ilyen tulajdonságú mátrix tehát az egységmátrix.

Ez azt is jelenti, hogy $I_{n}$ az n × n-es mátrixok multiplikatív csoportjának (a GL(n,T) csoportnak) egységeleme, illetve hogy az M_n(T) algebra egységelemes.

Általában, a T test feletti bármilyen mátrixon halmazában (melyben az összeadás és a szorzás csak parciálisan értelmezett, hisz csak a megfelelő alakú mátrixokkal végezhetők el) igaz az egységmátrixokra, hogy

$I_{m}A=AI_{n}=A\,$

és

$BI_{m}=I_{n}B=B\,$

minden A -val jelölt m × n-es és B -val jelölt n × m-es mátrixra.

Mint lineáris leképezés

Ha V a T test feletti n dimenziós vektortér, akkor a V egy B bázisára vonatkozóan felírható tetszőleges lineáris leképezés mátrixa. Ebből a szempontból az I_n egységmátrix az x $\mapsto$ x identitás leképezés mátrixa akármelyik bázisban:

$[I]_{B}=[I]_{C}=I_{n}\,$

ha B és C a V tetszőleges bázisa.

Világos, hogy az identitás leképezés és az egységmátrixszal való szorzás azonosítható, így

• $\mathrm {det} (I)=1$ (hiszen nem növel térfogatot),
• egyetlen sajátértéke az 1 és minden vektor ezzel a számmal sajátvektora,
• minden bázisban $[I]=\mathrm {diag} (1,1,...,1_{(n)})$ a diagonalizációja (azaz önmaga),
• amiből a nyoma: $\mathrm {trace} (I)=n$
• $\mathrm {e} ^{I}=\mathrm {e} \cdot I$

Ez utóbbi azért van, mert tetszőleges kvadratikus A mátrixra:

$\mathrm {e} ^{A}=\sum \limits _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}A^{k}=I+A+{\frac {1}{2}}A^{2}+\cdots$

így az A = $I$ esetben a sorfejés jobb oldalának főátlójában a

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}$

sorösszeg van, ami e, míg a főátlón kívüli elemekre a jobb oldal 0-t ad.

Kronecker-szimbólum

Az n×n-es mátrixok nem mások, mint az (i,j) alakú párokon értelmezett T-be képező függvények, ahol 1 ≤ i, j ≤ n. Ebben az értelemben az egységmátrix azonos a Kronecker-féle δ függvénnyel, melyre:

$\delta _{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&\mathrm {ha} &i=j\\0,&\mathrm {ha} &i\neq j\end{matrix}}\right.$

és így

$(I_{n})_{ij}=\delta _{ij}\,$

minden 1 ≤ i, j ≤ n-re.

Egységgyökök

Egy n × n-es A mátrixot k-adik egységgyöknek nevezünk, ha az A mátrix k-adik hatványa az n-edrendű egységmátrix. Például a 2 × 2-es egységnégyzetgyökök:

${\begin{pmatrix}\pm d&{\frac {1-d^{2}}{c}}\\c&\mp d\end{pmatrix}}$ ill. ${\begin{pmatrix}\pm d&c\\{\frac {1-d^{2}}{c}}&\mp d\end{pmatrix}}$

Források

• Identity Matrix in MathWorld
• Identity Matrix in PlanetMath