Algebrai egész szám

Algebrai egész számnak, vagy röviden algebrai egésznek nevezzük az olyan komplex számot, amely zérushelye egy egész együtthatós, 1 főegyütthatójú polinomnak. Az algebrai egészek gyűrűt alkotnak, és minden algebrai egész egyben algebrai szám is.

Példák

Algebrai egész minden egész szám. Ha ugyanis $n\in \mathbb {Z}$, akkor gyöke az $x-n$ polinomnak.

Algebrai egészek az n-edik egységgyökök, mert gyökei az $x^{n}-1$ polinomnak.

Algebrai egészek az Eisenstein-egészek és a Gauss-egészek is.

Algebrai egész az aranymetszés $\Phi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}$ arányszáma, mert $\Phi ^{2}-\Phi -1=0$.

Ellenpéldák

Nem algebrai egész a $\pi$, hiszen transzcendens szám.

Nem algebrai egész az $1 \over 2$. Tegyük fel ugyanis indirekt módon, hogy az $1 \over 2$ gyöke az $x^{n}+a_{1}x^{n-1}+a_{2}x^{n-2}+\dots +a_{n}$ egész együtthatós polinomnak. Akkor

${1 \over {2^{n}}}+{a_{1} \over {2^{n-1}}}+{a_{2} \over {2^{n-2}}}+\dots +a_{n}=0$

és így

$1+2a_{1}+2^{2}a_{2}+\dots +2^{n}a_{n}=0,$

ami lehetetlen, mert a bal oldal páratlan, a jobb oldal pedig páros.

Alapvető tények

Ha $\alpha$ algebrai egész, akkor $\beta ={\sqrt[{n}]{\alpha }}$ szintén algebrai egész. Ha ugyanis $\alpha$ kielégíti a $p(x)$ 1 főegyütthatójú egész együtthatós polinomot, akkor $\beta$ kielégíti a $p(x^{n})$ 1 főegyütthatójú egész együtthatós polinomot.

Egy algebrai egész csak akkor racionális, ha egész szám. Ez hasonlóan látható be, mint a fenti állítás az $1 \over 2$-re vonatkozóan.

Az előző két állításból következik az is, hogy ${\sqrt[{k}]{n}}\,(k,n\in \mathbb {N} )$ akkor és csak akkor racionális, ha $n$ egy természetes szám $k$-adik hatványa. Speciálisan ${\sqrt {2}}$ nem racionális.

Algebrai egészek ellentettje, összege és szorzata ismét algebrai egész, így az algebrai egészek gyűrűt alkotnak. Algebrai egészek hányadosa viszont nem feltétlenül algebrai egész. Például az 1 és a 2 algebrai egészek, de az $1 \over 2$ nem az.

Források

Pelikán József: Algebra (PDF/Postscript). összeállította Gröller Ákos. ELTE TTK