Vektor

A vektor a matematika fontos fogalma. Egy vektort egyértelműen meghatároz az iránya, állása és nagysága (abszolút-értéke). Ennek ellenére a vektort nem definiálhatjuk irányított szakaszként, mert egy vektornak nincsenek pontjai, vagy konkrét helye. Egy vektort végtelen számú irányított szakasz reprezentálhat. Egy irányított szakaszt ponthalmaznak tekintünk, ami kezdő és végponttal rendelkezik.

A vektorok bevezetésére elsősorban fizikai problémák megoldása sarkallta a matematikusokat. Például az elmozdulás, erő, forgatónyomaték, vagy a térerősség (mágneses, elektromos, gravitációs stb.) vektorokkal leírható mennyiségek.

Általános leírás

A vektor nagysága a vektort reprezentáló irányított szakasz hossza. Állása a vektort reprezentáló irányított szakasznak egy önkényes választás alapján, előre meghatározott vonatkoztatási egyenessel bezárt szöge. Iránya megmutatja, hogy a vektort reprezentáló irányított szakasznak melyik a kezdő és végpontja.

Vektorok a vektortérnek nevezett halmaz elemei. E halmaz megadásához az elemeken kívül egy másik halmazt is meg kell jelölni, amelynek elemeit skalároknak nevezzük. A vektorokra ugyanis az egymás közötti műveleteken kívül vektor-skalár műveleteket is értelmezünk. Ezért a fenti példákban szereplő vektorok terét szabatosan valós számok feletti vektortérnek kell nevezni. A skalárokat ezekben az esetekben a valós számok képviselik.

Részletezés

A vektorok V halmazában értelmezett egyetlen művelet az összeadás, amelyről megköveteljük, hogy asszociatív és kommutatív legyen, továbbá, hogy legyen a halmazban neutrális elem – nullvektor – és minden elemnek legyen inverze – ellentett vektor. Az ilyen halmazt kommutatív csoportnak nevezik. A skalárok S halmaza ún. kommutatív test, amelynek elemei között a valós számok körében értelmezett műveletek (összeadás és szorzás) értelmezve vannak, s azok ismert tulajdonságaival rendelkeznek: kommutatív, asszociatív mindkettő, disztributív az összeadás a szorzásra nézve, van egység- és null-elem, továbbá additív és multiplikatív inverz (a nulla kivételével). A két halmazt összekapcsolja egy „külső művelet”, a vektornak skalárral való szorzása. E művelet eredménye szintén vektor. Megköveteljük, hogy e műveletre a következő szabályok legyenek érvényesek:

Ha $\alpha ,\beta$ , 1 skalárok és u, v vektorok, akkor

1. $(\alpha +\beta )u=\alpha u+\beta u$
2. $\alpha (u+v)=\alpha u+\alpha v$
3. $\alpha (\beta u)=(\alpha \beta )u$
4. $1u=u$

A geometriában

A legismertebb „geometriai” vektor az irányított szakaszok ekvivalencia osztálya. Két (több) azonos hosszúságú és irányítású szakasz ugyanannak az osztálynak (vektornak) a képviselője. Amikor az általuk képviselt osztályokkal műveletet végzünk (például két vektort összeadunk), a szerkesztéshez bármelyiküket használhatjuk: szabad vektorok.

A koordináta rendszerben értelmezett helyvektorok, azaz az origóból indított és a sík egy-egy pontjában végződő irányított szakaszok olyan halmazt alkotnak, ami rendelkezik a vektortér tulajdonságaival, ezek az ún. kötött vektorok.

Egy eltolást megadhatjuk egy vektorral vagy annak bármelyik képviselőjével (egyik irányított szakasszal). Ezért az eltolások halmazának struktúrája az irányított szakaszok osztályainak struktúrájával ekvivalens: vektortér.

E „geometriai” vektorok közös jellemzője a hosszúság és az irány. Az előbbit szokták a vektor abszolút értékének is nevezni. Ezek a fogalmak sok más vektortérben is értelmezhetők. A rendezett szám n-eseknél például a komponensek négyzetösszege a vektor normája, s ennek négyzetgyöke az abszolút értéke. Ugyanebben a vektortérben az irány már nem olyan szemléletes, mint például a síkbeli geometriai vektoroknál.

A $\mathbf {v}$ vektorral való eltolást $\tau _{\mathbf {v} }$-vel jelöljük.

Vektorműveletek

Két vektor összege rajzban a paralelogramma-szabály szerint képezhető

A vektortérben két művelet – az összeadás és a skalárral való szorzás – értelmezett. A vektorok kivonása ezek kombinációjával helyettesíthető: a-b = a+(-1.b). A geometriai vektorok speciális vektorok és speciális geometriai objektumok. Értelmezhető két ilyen vektor szorzata, ami nem általános vektorművelet (például két erő szorzata nem értelmes). A sík vagy térvektorok skaláris szorzata: a.b = skalár, viszont két térvektor vektoriális szorzata: a×b = vektor és ez a művelet síkban nem is értelmezhető. A térben három vektor vegyes szorzata: (a×b).c e két művelet kombinációja, s eredménye skalár. Mind az alapműveleteket, mind e specifikus operációkat értelmezni lehet a sík- ill. a térbeli analitikus geometriában is. Ebben a modellben a geometriai szerkesztéseket számítási eljárások helyettesítik: vektorkalkulus. A geometriai problémák megoldásában a vektoranalízis, a differenciálgeometria szintén sok, elemi úton nehezebben bizonyítható összefüggés, körülményesebben kivitelezhető szerkesztés megoldásában nyújt segítséget.

A fizikában

A fizikában vektornak nevezzük az olyan mennyiségeket, amelyek a koordináta-rendszer elforgatásakor ugyanúgy transzformálódnak, mint a koordinátavektor (ld. a matematikai vektor fogalmát). Ez kiterjesztése a matematikai fogalomnak, mert a fizikában nemcsak számmal, hanem mértékegységgel is jellemezzük a mennyiségeket, ezért mondjuk a hármas helykoordináta-rendszerben szigorúan véve nem tudjuk az impulzust ábrázolni, csak az irányát, a hossza tulajdonképpen önkényes. Az impulzus az impulzustérben ábrázolható. A két koordináta-rendszert el tudjuk viszont szimultán forgatni úgy, hogy a forgatást ugyanazok az Euler-szögek jellemezzék. Ha a koordináta-rendszer elforgatásakor egy másik fizikai mennyiség ilyen értelemben ugyanúgy transzformálódik, akkor az illető mennyiséget fizikai vektormennyiségnek nevezzük.

Ha a koordináta-rendszer tükrözését – ami mindegyik koordinátatengely irányának a megfordítását jelenti – is megengedjük, akkor két eset lehetséges. Ha a vektor iránya ellentétesre vált, akkor a mennyiség valódi vektor vagy egyszerűen vektor, ha nem, akkor pedig axiálvektor

Példák

• Vektor a térbeli koordináta, impulzus, sebesség, elektromos térerősség stb.
• Axiálvektor az impulzusmomentum, mágneses indukció stb.

Lásd még

• skalár, pszeudoskalár
• tenzor, pszeudotenzor
• Lorentz-vektor, négyesvektor

Források

• Weisstein, Eric W.: Vektor (angol nyelven). Wolfram MathWorld
• Sulinetes anyag a vektorokról
• Magyarított, letölthető interaktív Flash szimuláció síkvektorok összeadásáról a PhET-től. Grafikus megjelenítés mellett a polár- és derékszögű koordinátákat is megadja.
• Magyarított Flash szimuláció a derékszögű koordináták és a megfelelő egységvektorok kapcsolatáról. Szerző: David M. Harrison