Növelő részfélcsoport

Egy félcsoport növelő részfélcsoportja a félcsoport azon rész-félcsoportja, melynek alaphalmaza (tartóhalmaza) a félcsoport növelő elemeinek halmaza. Természetesen ezen elemek rész-félcsoportjairól csak akkor beszélhetünk, ha ezen elemek léteznek, ami egyáltalán nem mindig igaz. A növelő elemek osztályzása szerint megkülönböztetünk balnövelő- illetve jobbnövelő rész-félcsoportot.

Balnövelő részfélcsoport

Egy (S,¤) félcsoport balnövelő elemének egy olyan n∈S elemet nevezünk, melyhez található az S tartóhalmaznak egy olyan T⊂S valódi részhalmaza, amelyre nT = {nt∈S|t∈T} = S. Az ilyen elemek a félcsoport egy rész-félcsoportját alkotják.

Ezért az összes balnövelő elem halmazát (pontosabban e halmaz és a félcsoportművelet párosát) az S félcsoport balnövelő részfélcsoportjának nevezzük és S^(b)-vel jelölhetjük. A formális definíció pedig:

S^(b) := {n∈S |  ∃T∈P(S):(T≠S ∧ nT = S)}

Itt P(S) az S tartóhalmaz hatványhalmazát, azaz részhalmazai halmazát jelöli; a „részfélcsoport” elnevezést pedig a következő tétel indokolja:
Tétel: (S^(b), ¤) rész-félcsoportja (S,¤)-nek; röviden: S^(b)≤S.

• Triviális, hogy a szorzás asszociatív S^(b)-, hisz a szorzás az S^(b) valódi részhalmazon nyilvánvalóan asszociatív, ha egyszer az egész tartóhalmazon az.
• S^(b) zárt a szorzásra; ha n,m∈S^(b), akkor nm∈S^(b). A feltételek szerint ∃T,U⊂S: (nT=S ∧ mU=S).
  • Ehhez elegendő belátni, hogy van olyan V⊂S, melyre mV épp az S n szerinti őse (azaz T). Ilyen van, hiszen ∃U⊂S: mU = S, és a jobb oldali halmazból kiválasztva a T-beli elemek m szerinti ősének elemeit, ezek előállnak mu – ahol u∈U – alakban; ekkor ezen U-beli u-k halmaza legyen V. Tehát mV = U és így (nm)V = n(mV) = nT = S, tehát nm balnövelő elem ■.

Jobbnövelő részfélcsoport

Egy (S,¤) félcsoport jobbnövelő elemének egy olyan n∈S elemet nevezünk, melyhez található az S tartóhalmaznak egy olyan T⊂S valódi részhalmaza, amelyre Tn = {tn∈S|t∈T} = S. Az ilyen elemek a félcsoport egy rész-félcsoportját alkotják.

Ezért az összes jobbnövelő elem halmazát (pontosabban e halmaz és a félcsoportművelet párosát) az S félcsoport jobbnövelő részfélcsoportjának nevezzük és S^(j)-vel jelölhetjük. A formális definíció pedig:

S^(j) := {n∈S |  ∃T∈P(S):(T≠S ∧ Tn = S) }

Itt P(S) az S tartóhalmaz hatványhalmazát, azaz részhalmazai halmazát jelöli; a „részfélcsoport” elnevezést pedig a következő tétel indokolja:
Tétel: (S^(j), ¤) rész-félcsoportja (S,¤)-nek; röviden: S^(j)≤S.

• Triviális, hogy a szorzás asszociatív S^(j)-, hisz a szorzás az S^(j) valódi részhalmazon nyilvánvalóan asszociatív, ha egyszer az egész tartóhalmazon az.
• S^(j) zárt a szorzásra; ha n,m∈S^(j), akkor nm∈S^(j). A feltételek szerint ∃T,U⊂S: (Tn=S ∧ Um=S).
  • Ehhez elegendő belátni, hogy van olyan V⊂S, melyre Vm épp az S n szerinti őse (azaz T). Ilyen van, hiszen ∃U⊂S: Um = S, és a jobb oldali halmazból kiválasztva a T-beli elemek n szerinti ősének elemeit, ezek előállnak um – ahol u∈U – alakban; ekkor ezen U-beli u-k halmaza legyen V. Tehát Vm = U és így V(mn) = (Vm)n = Tn = S, tehát nm jobbnövelő elem ■.

További tulajdonságok

A növelő részfélcsoportok diszjunktak

Ez így igaz, ahogy a címben is áll, tehát S^(b)-nek és S^(j)-nek nincs közös eleme:

S^(b)∩S^(j) = ∅

Ez a következő állításból következik: egy (S, ¤) félcsoport egyik eleme sem lehet egyszerre balnövelő és jobbnövelő elem.

• Bizonyítás: ld. itt.

Félcsoport felbontása az elemek növelősége szerint

Az előző állítás egyszerű következménye az alábbi: Jelölje S(0) az (S,¤) félcsoport se nem jobb-, se nem balnövelő elemeinek halmazát, vagyis legyen

S⁽⁰⁾ = S\(S^(j)∪S^(b)).

Ekkor

S = S^(b)ΔS^(j)ΔS⁽⁰⁾;

vagyis S^(b), S^(j), S⁽⁰⁾ páronként diszjunkt osztályokra bontása S-nek (Δ a halmazok szimmetrikus differenciáját jelöli).

A növelő részfélcsoportokban nincs ezekhez tartozó, de ellentétes oldali növelő elem

Azaz:

1. (S^(b))^(j) = ∅;
2. (S^(j))^(b) = ∅

Tegyük fel például, hogy S^(b)-nek mégis csak lenne egy n∈S^(b) jobbnövelő eleme (tehát lenne olyan valódi részhalmaz, Y⊂S^(b), amelyre Yn = S^(b)); ebből következően az S^(b) minden eleme, így az n elem is „előállítható” yn alakban, tehát valamely y∈Y-nal yn = n. Belátjuk, hogy ez az y bal oldali egységeleme S-nek. Az n elem balnövelő eleme S-nek (hisz n∈S^(b)), tehát van olyan T⊂S valódi részhalmaza S-nek, amelyre nT = S, és így az S tetszőleges s∈S elemére van olyan x∈T, amelyre nx = s; és így ys = y(nx) = (yn)x = nx =s.

Ebből következően az S bármely valódi R részhalmazára yR = R≠S. Ne feledjük azonban, hogy y∈Y⊂S^(b), tehát y maga is balnövelő elem, így létezik őse, olyan R⊂S, amelyre yR = S, holott ez az előbbi mondatból következően (YR = R) ellentmondás. Tehát a balnövelő részfélcsoportnak nincs olyan jobbnövelő eleme, amely eleme is lenne.

Hasonlóan látható be a [2]. állítás is ■.

A növelő részfélcsoportok komplementer részfélcsoportjai

A növelő részfélcsoportok komplementerei – ha nem üresek – is részfélcsoportok (S,¤)-ben. Tehát:

1. S^(-b) := S-S^(b) =  S^(j)∪S⁽⁰⁾≤(S, ¤); ha S^(-b) ≠ ∅;
2. S^(-j) := S-S^(j) =  S^(b)∪S⁽⁰⁾≤(S, ¤); ha S^(-j) ≠ ∅.

Legyen S^(-b) nem üres, ekkor van legalább egy eleme. Ez esetben (egyébként ha üres, akkor is) S^(-b)-n érvényes az asszociativitás, akárcsak S-ben, elegendő tehát belátni, hogy S^(-b) zárt a szorzásra. Legyen x,y az S^(-b) két (nem feltétlenül különböző) eleme, akkor tételünk azt állítja, hogy xy nem balnövelő eleme S-nek. Tegyük fel (indirekt bizonyítás), hogy xy mégis csak balnövelő, azaz xy∈S^(b). Akkor valamely A⊂S valódi részhalmaz esetén (xy)A =nbsp;x(Ay) = S. De B := (yA)⊂S, mert különben y balnövelő elem lenne, holott nem az. Ezért nem lehet x(B) = x(Ay) = S sem, mert akkor meg x lenne balnövelő elem. Ez pedig ellentmond annak, hogy xy balnövelő elem, azaz (xy)A =nbsp;x(Ay) = S. Tehát xy nem balnövelő elem, így S^(-b) valóban zárt a szorzásra. Hasonlóan bizonyítható, hogy amennyiben S^(j)≠S, úgy S^(-j)≤S ■.

Egységelemes félcsoportban S⁽⁰⁾ részfélcsoport

A következőképp definiálhatjuk a nem-növelő elemek S⁽⁰⁾ halmazát (ahogy már fentebb is):

S⁽⁰⁾ = S\(S^(b)∪S^(b)) = S^(-b)∩S^(-j).

Egységelemes félcsoportban S⁽⁰⁾ rész-félcsoport (emiatt nem üres, tehát egységelemes félcsoportban van olyan elem, amely se nem bal-, se nem jobbnövelő); ráadásul olyan, amelynek sem jobbnövelő, sem balnövelő eleme nincs.

S részhalmazainak részfélcsoportsághoz a következő dolgok kellenek: 1). nem-üresség; 2). asszociatív a félcsoportművelet a részhalmazon; 3). algebrai zártság a szorzás műveletére. Az egységelem léte miatt az 1). követelmény teljesül, az egységelem (e) ugyanis se nem bal-, se nem jobbnövelő elem, mert bármely T⊂S valódi részhalmazra eT = Te = S ≠ T. Így e∈S⁽⁰⁾. Tetszőleges részhalmazra nyilvánvalóan igaz az asszociativitás; így 2). is teljesül. 3).-hoz igazolni kell, hogy bármely x,y∈S⁽⁰⁾-ra xy∈S⁽⁰⁾. Legyen x,y az S⁽⁰⁾ két (nem feltétlenül különböző) eleme, akkor tételünk azt állítja, hogy xy is se nem bal-, se nem jobbnövelő eleme S-nek. Tegyük fel (indirekt bizonyítás), hogy xy mégis csak bal- vagy jobbnövelő. Ha például balnövelő, akkor valamely A⊂S valódi részhalmaz esetén A(xy) = (Ax)y = S. Ám ekkor B := Ax⊂S, mert különben x jobbnövelő elem lenne, holott nem az. Ezért nem lehet By = x(Ay) = S sem, mert akkor meg y lenne jobbnövelő elem, holott nem az. Ez pedig ellentmond annak, hogy xy balnövelő elem, azaz (xy)A = x(Ay) = S. Tehát xy nem balnövelő elem. Hasonlóan látható be, hogy nem is jobbnövelő. Így S(0) valóban zárt a szorzásra ■.

Hivatkozások

Források

• Lajos Sándor: A félcsoportok növelő elemeiről. Tanulmány, megjelent: A Magyar Tudományos Akadémia III. oszt. (matematikai és fizikai tudományok osztályának) közleményei XV. köt. 3. sz. Akadémiai Kiadó, Bp., 1965. Főszerk. Alexits György. 273.-288. old.