Duális tér

A duális tér a lineáris algebra egy alapvető fogalma. Egy vektortér elemei és duálisának elemei úgy viszonyulnak egymáshoz, mint a mátrixszámításban az oszlopvektorok a sorvektorokhoz. A duális tér jelentőségét akkor nyeri el, amikor nem csak véges, hanem végtelen dimenziós vektortereket is tárgyalni kívánunk, mint az absztrakt függvényterek elméletében (például: Hilbert-tér), a tenzorok elméletében és a reprezentációelméletben.

Definíció

Ha V vektortér a T test fölött, akkor a V-ből T-be képező összes lineáris leképezések

$Hom(V;T)\;$ vagy $Lin(V;T)\;$

halmazát, a V-vektortér duális terének nevezzük és

$V{\mbox{*}}\;$

-gal jelöljük, elemeit pedig lineáris funkcionáloknak, lineáris formáknak vagy kovektoroknak mondjuk.

V* maga is vektortér a T felett a függvények pontonkénti összeadással és a T-beli elemmel történő szorzással, mint műveletekkel ellátva. A V*-beli p lineáris funkcionál x ∈ V helyen felvett értékét a funkcionális p'(x) és a lineáris algebrából ismert px jelölés helyett gyakran a matematikai fizikában használt

$(p|x)\;$

-szel jelöljük. Ez esetben a műveletek tetszőleges x ∈ V, p, q ∈ V* ill. λ ∈ T-re:

$(p+q|x)=(p|x)+(q|x)\;\;\;\in T$

$(\lambda p|x)=\lambda \cdot (p|x)\;\;\;\in T$

Például a legegyszerűbb véges dimenziós vektortér, a V = T ⁿ (az n „emeletes” oszlopvektorok tere) duálisa a Hom(Tⁿ;T) tér, melynek elemeit mátrix alakban (a sztenderd bázisban felírt koordinátamátrixok formájában) írva kölcsönösen egyértelműen megfeleltethetjük az n elemű sorvektorok T^1×n terének. Ekkor V és V* vektortér izomorf, illetve dimenziójuk egyenlő, akárcsak az összes véges dimenziós vektortér esetén:

$\left(T^{n}\right){\mbox{*}}=Hom(T^{n};T)\equiv T^{1\times n}\equiv T^{n\times 1}=T^{n}$

$dim\left(T^{n}\right){\mbox{*}}=n=dim\;T^{n}$

Természetes injekció

Véges dimenziós esetben művelettartó bijekció létesíthető V és V* között, ám végtelen dimenziós esetben nincs feltétlenül így. Az általános esetben csak egy művelettartó injekció hozható létre, mely ráadásul nem természetes, abban az értelemben, hogy nem értelmezhető minden vektortér esetén kitüntetett vagy sztenderd bázis (melyben az injekció definiálható lenne). Van azonban kitüntetett injekció V és V** között, azaz tér és a duális tér duálisa között. Ehhez először az x ponthoz tartozó kiértékelés leképezését kell definiálnunk, azaz rögzített x ∈ V-re az

$L_{x}:V{\mbox{*}}\rightarrow T;\;p\mapsto (p|x)$

lineáris funkcionált, mely V** eleme. Ezután minden x ∈ V-re definiálhatjuk az

$L:V\rightarrow V{\mbox{**}};\;x\mapsto L_{x}$

kitüntetett, vagy természetes injekciót, mely tehát a következő tulajdonsággal rendelkezik:

$(Lx|p)=(p|x)\;$