Logikai függvények

A logikai függvények olyan matematikai leképezések, melyek a 0 és 1 számokból álló véges sorozatokhoz rendelik a 0 vagy 1 számot. Alkalmazásait tekintve kiemelkedőnek tekinthető a logika igaz-hamis értékeléseinek modellezése (ítéletlogika) és a digitális számítógépek elemi szintű működésének leírása.

A digitális számítógépek munkamódszerének és felépítésének megértéséhez szükség van a logikai függvény fogalmára.

Fogalmak, tételek

Egy logikai függvény tehát olyan n változós függvény, melynek változói a {0,1} halmazból vehetnek fel értéket, a függvényérték pedig szintén a {0,1} halmazból valók. Itt az 1 értékre gyakran mint az igaz, a 0 értékre mint a hamis hivatkoznak (főleg logikai alkalmazásaiban). Formálisan, a {0,1}ⁿ Descartes-szorzat segítségével egy f függvény logikai, ha:

$f:\{0,1\}^{n}\rightarrow \{0,1\}$

Az n változós logikai függvények száma 2²ⁿ, hiszen az n változó 2ⁿ darab lehetséges értékének mindegyikéhez két értéket rendelhetünk.

Egyváltozós logikai függvények

Az egyváltozós logikai függvények a következők:

id 0 0 1 1

nem 0 1 1 0

1 0 1 1 1

0 0 0 1 0

Tehát az identitás leképezés, mely minden értékhez saját magát rendeli, a tagadás (nem), mely minden értékhez az ellenkezőjét rendeli (értsd: a 0-hoz az 1-et, az 1-hez a 0-t), az 1 vagy az azonosan igaz leképezés, mely mindenhez az 1-et rendeli és a 0 vagy az azonosan hamis leképezés, mely mindenhez a 0-t rendeli.

Ezek közül külön figyelmet érdemel a tagadás, nem vagy NOT operáció, melyet általában felülvonással jelölünk. Az x logikai érték (tehát 0 vagy 1) tagadása:

${\overline {x}}$

Értelemszerűen tehát:

${\overline {\overline {x}}}=x$,

${\overline {1}}=0$,

${\overline {0}}=1$

Kétváltozós logikai függvények

A 16 kétváltozós logikai függvény közül csak a nemtriviálisakat említjük. Minthogy ezek {0,1} × {0,1} $\rightarrow$ {0,1} típusú függvények, ezért ezek kétváltozós műveleteknek is tekinthetők.

• Logikai szorzás (más néven és vagy AND művelet)

$x\cdot y:=x\cdot y\,$, ahol a második szorzás a számok szorzása.

• Logikai összeadás (más néven vagy illetve OR művelet)

$x+y\ =\ {\begin{cases}\ 1,&{\mbox{ha }}x=1,y=1,\\x+y,&{\mbox{ha }}x\neq 1{\mbox{ vagy }}y\neq 1\end{cases}}$, ahol a második összeadás a számok összeadása.

$\cdot$ 0 1 0 0 0 1 0 1

$+$ 0 1 0 0 1 1 1 1

Ezen két művelet közötti triviális kapcsolatot írja le az alábbi két, úgy nevezett de Morgan-azonosság:

${\overline {x\cdot y}}={\overline {x}}+{\overline {y}}$,

${\overline {x+y}}={\overline {x}}\cdot {\overline {y}}$

Azért elegendő ez a két művelet, mert minden logikai függvény előállítható pusztán kétváltozós műveletekkel:

Tétel – Akárhányváltozós logikai függvény felírható a tagadás és a logikai összeadás (vagy a tagadás és a logikai szorzás) segítségével.

Lásd még

• Boole-algebra