Racionális egész függvény

Az n-edfokú racionális egész függvényeket, rövidebben polinomfüggvényeket az

$\ x\mapsto P_{n}(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},~(a_{n}\neq 0,n\in \mathbb {N} )~$

hozzárendelés definiálja, ahol a_i valós (vagy komplex) számok. Például $\ x\mapsto 2x^{3}-x^{2}+3/2$ egy harmadfokú racionális egész függvény.

Elemi racionális egész függvény

Az $y=x^{n}$ explicit egyenlettel adott függvény az ún. hatványfüggvények speciális esete, elemi függvény. Grafikonja az $n=1$ esetben egyenes, különben n-edfokú (elemi) parabola. A páros kitevőjű parabolák az Y tengelyre, a páratlanok az Origóra szimmetrikusak. E függvények határértéke:

• $\lim _{x\to +\infty }x^{n}=+\infty$.
• $\lim _{x\to -\infty }x^{n}={\begin{cases}+\infty ,~n=2k\\-\infty ,~n=2k+1\end{cases}}$

Módosított elemi függvények

A zérustól és 1-től különböző $a\in \mathbb {R}$ együtthatóval az $y=ax_{n}$ egész függvények grafikonja az Y tengely irányában nyújtott/zsugorított, $a<0$ esetben az X tengelyre tükrözött (merőleges affinitás).

Általános polinomfüggvény

A polinomfüggvény természetes kitevőjű hatványfüggvények kombinációja. Grafikonja ún. n-edrendű görbe, mely az X tengelyt legfeljebb n pontban metszi/érinti (l.: az algebra alaptétele). Végtelenben vett határértéke a legmagasabb kitevőjű komponensével egyezik:

• $\lim _{x\to \pm \infty }P_{n}(x)=\lim _{x\to \pm \infty }x^{n}$

Fontosabb polinomfüggvények

• Egyenes arányosság függvénye: $y=ax$.
• Lineáris (elsőfokú) függvény: $y=ax+b$.

A grafikonja egyenes, amelynek állását az $a$ együttható (meredekség) határozza meg.

• Másodfokú függvény: $y=ax^{2}+bx+c$.

A grafikonja parabola (kúpszelet), állása $a$ előjelétől függ.

• Harmadfokú függvény: $y=ax^{3}+bx^{2}+cx+d$.

Grafikonját 3-adfokú parabolának is nevezik. Alakja az $a$ együttható és a $\Delta =3ac-b^{2}$ mennyiség előjelétől függ.

Kapcsolódó cikkek

• Polinom
• Racionális törtfüggvény

Irodalom

Bronstein – Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Műszaki könyvkiadó, Budapest, 1987.

Pattantyús Gépész- és Villamosmérnökök Kézikönyve 1. kötet. Műszaki Könyvkiadó, Budapest, 1961.

Reiman István: Matematika (Műszaki Könyvkiadó, 1992)

F. Reinhardt – H. Soeder: SH atlasz-Matematika (Springer-Verlag, 1993)

Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei (Közoktatásügyi Kiadóvállalat, 1951)