Koordináta-rendszer

Descartes-féle koordináta-rendszer

A koordináta-rendszer egy tér (vagy sík, egyenes, görbe, felület stb.) pontjait bizonyos alapelemekhez (bázisokhoz) viszonyítva egyértelműen meghatározó rendszer. Egy pont helyzetét a koordináta-rendszerben számokkal (koordinátákkal) adhatjuk meg. A koordináta-rendszereket feloszthatjuk dimenziószámuk (1, 2, 3, …, n dimenziós) és a méretek jellege szerint:

• Affin (pl. Descartes-féle, carthesianus): a koordináták hosszúságok (távolságok) mérőszámai
• Poláris: a koordináták hosszúságok és szögek mérőszámai
• Görbe vonalú (pl. elliptikus, geodetikus): a koordináták egy önkényesen felvett hálózat skálázásából adódnak
• Homogén (pl. baricentikus, projektív): a koordináták nem abszolút méretek, hanem viszonyszámok (méretarányok)
• Egyéb, főként felületek pontjainak megadására szolgáló (pl. földrajzi és csillagászati koordináták)

Története

Derékszögű koordináták

Polárkoordináták

Főként a Descartes-féle derékszögű koordináták és a poláris koordináták használata terjedt el, de több más rendszert is alkalmaznak. Ezek tulajdonképpen a két alaprendszer variánsai, általánosításai vagy éppen speciális alkalmazásai. Mindkét rendszer eredete homályos. A Descartes-féle síkbeli koordináták kezdetben az ókori geográfus, Sztrabón térképein mint földrajzi hosszúság és szélesség jelentek meg. Ugyancsak régi, középkori térképeken, hajózási atlaszokon láthatók olyan vonalak, amelyek az ábrázolt tenger térségében megadják az egyes kikötőktől a többi kikötőhöz, vagy tájékozódási ponthoz vezető kurzust (távolság + irány). A legismertebb derékszögű koordinátákat René Descartes du Peron előtt is alkalmazták a matematikusok. Nevét a rendszer azért örökölte, mert korszakalkotó munkáját (Discours de la Méthode, 1673) követően vált az koordinátageometria és a függvénytan elengedhetetlen eszközévé.

A földrajzi koordináták használatának hasznosságára már Sztrabón előtt Hipparkhosz és Klaudiosz Ptolemaiosz rámutatott. A derékszögű rendszert is használta Descartes-ot megelőzően Nicole d’Oresme (1320–1382) mozgások (mozgásegyenletek) ábrázolására. Bizonyos tekintetben Descartes eredményeit meghaladták kortársának, Pierre de Fermat-nak a vizsgálatai a kúpszeletek analitikus geometriája terén (Ad locus planos et solidos isagoge, 1679). A két alapváltozattól különböző rendszerek alkalmazásának is vannak előzményei. Apollóniosz az i. e. 200 körül megjelent Kónika (Kúpszeletek) című munkájában e síkgörbék pontjait két konjugált átmérőjükhöz viszonyítva vizsgálta, s ezzel (kimondatlanul) ferdeszögű koordináta-rendszert használt. A homogén rendszerek első változatát, a baricentrikus koordinátákat August Ferdinand Möbius (1790–1868) alkalmazta (Der baryzentrische Kalkül), s vele egy időben a Julius Plücker (1801–1868) a róla elnevezett rendszert a kúpszeletek és másodrendű felületek geometriájában (Theorie der algebraische Curven, 1839).

Descartes-féle koordináta-rendszer

Alapértelmezés

A Descartes-féle rendszerek bázisát és koordinátákat kétféleképpen értelmezhetjük:

• Közös kezdőpontú számegyenesektől (tengelyek) mért távolságok a koordináták.
• Közös kezdőpontú egységvektorok együtthatói adják a pont koordinátáit.

A sík koordináta-rendszerét 2 számegyenessel, ill. 2 egységvektorral, a térét 3-3 elemű bázissal adjuk meg.

A definíció nem köti ki a tengelyek merőlegességét, sem azt, hogy azok skálázása azonos legyen. Ezért megkülönböztethetünk

• ortogonális (derékszögű) és klinogonális (ferdeszögű)
• normált (azonos léptékű) és denormált (különböző léptékű)

rendszereket.

Affin rendszerek

A klasszikus Descartes-féle rendszer ortonormált, vagyis ortogonális és normált.

Csak az ortogonális rendszerben azonosak egy pont fentebb kétféleképpen értelmezett koordinátái.

Síkbeli rendszer

A síkbeli Descartes-féle koordináta-rendszerben egy $P$ pont helyzetét az $XY$ síkon az $(x;y)$ rendezett számpárral (koordináta-kettős) adjuk meg. A két tengely metszéspontja a koordináta-rendszer kezdőpontja az origó ($O$). A megállapodás szerinti első $x$ koordináta az abszcissza, a második $y$ koordináta az ordináta. Ugyanezekkel a jelzőkkel különböztetjük meg a tengelyeket. A vektoros értelmezésnél az $X$ és $Y$ tengelyek irányába mutató egységvektorokat $(i;j)$ jelöli.

• $x$ a $P$ pont előjeles távolsága az $Y$ tengelytől és
• $y$ a $P$ pont előjeles távolsága az $X$ tengelytől.
• illetve az ${\overrightarrow {OP}}=x{\underline {i}}+y{\underline {j}}$.

Térbeli rendszer

Bal- és jobbsodrású koordináta-rendszerek

A térben egy $P$ pont helyzetét az $(x;y;z)$ rendezett hármassal adjuk meg. A rendszer harmadik $Z$ tengelye az applikáta, a megfelelő egységvektor $k$. Meg kell különböztetni a három tengely (egységvektor) bejárási sorrendjét: jobb- vagy balsodrású rendszer (ld. ábra.)

• $x$ a $P$ pont előjeles távolsága az $[YZ]$ síktól és
• $y$ a $P$ pont előjeles távolsága az $[XZ]$ síktól és
• $z$ a $P$ pont előjeles távolsága az $[XY]$ síktól.
• illetve az ${\overrightarrow {OP}}=x{\underline {i}}+y{\underline {j}}+z{\underline {k}}$.

Más dimenziók

• Az egyenes Descartes-féle koordináta-rendszert egyetlen számegyenes ill. egységvektor határozza meg.
• Einstein relativitáselméletének formulázására Hermann Minkowski használta a négydimenziós téridő (tér-idő) rendszert. Itt a három térbeli koordináta az idővel kiegészítve egy pont (test) térbeli és időbeli helyzetét adja meg: $(x;y;z;t)$.
• A lineáris algebra az Descartes-féle koordináták általánosításával értelmezett tetszőleges n dimenziós vektortér lineáris transzformációival foglalkozik. E tér pontjait (azok helyvektorait) az $(x_{1};x_{2};\ldots ;x_{n})$ rendezett n-essel, vagy véges, n elemű sorozatokkal reprezentálja.
• A Hilbert-tér pontjait az $(x_{1};x_{2};\ldots )$ végtelen sorozatok képviselik.
• A síkban a Descartes-féle koordináta-rendszerben egy egyenest az $Ax+By+C=0$ egyenlettel adunk meg. Ennek az együtthatói az egyenes homogén vonal-koordinátái: [A,B,C].
• A térben egy sík egyenlete: $Ax+By+Cz+D=0$. A sík homogén koordinátáit az [A,B,C,D] rendezett négyes alkotja.

Polárkoordináták

Síkbeli polárkoordináták

Síkbeli rendszer

A síkbeli rendszert az $O$ kezdőpontja (origó) és egy ebből kiinduló $L$ irányított és skálázott félegyenes (polártengely) definiálja. (A tengely az irányába mutató, origóból induló egységvektorral is megadható.)

A szögmérés előjelezését megállapodás rögzíti: balsodrású ill. jobbsodrású rendszer.

Egy $P$ pont helyét két adattal adjuk meg: $(r,\alpha )$.

• $0\leq {r}$ (sugár) a pontnak az origótól való távolsága: vezérsugár (radius vector),
• $0\leq \alpha <360^{\circ }$ a polártengely és az $OP$ a szakasz által bezárt szög: polárszög (azimut).

Térbeli rendszerek

A térbeli polárkoordináták

A térbeli poláris rendszert egy alapsík (horizont) és egy erre merőleges (ortogonális) vagy ferde (klinogonális) tengely határozza meg, ahol a horizont síkjában egy poláris rendszer is adott. A $P$ pont vetületének síkbeli koordinátái: $P'(r,\lambda )$. A $P$ térbeli helyzetét az $OPP'$ vetítősíkon belüli koordinátával adjuk meg.

Hengerkoordináták

(A vetítősíkon belül: Descartes-koordináták.)

a $P(r,h,\lambda )$ koordinátái:

• $r$ az $OP$ vezérsugár vetülete a horizont-síkon,
• $h$ a pont (előjeles) magassága,
• $\lambda$ a pont vetületének azimutja.

Gömbkoordináták

(A vetítősíkon belül: polárkoordináták.)

Térbeli polárkoordináták

A szakirodalom kétféle értelmezést használ:

Ekvatoriális gömbkoordináták

a $P(R,\lambda ,\varphi )$ koordinátái:

• $R$ az $OP$ vezérsugár hossza,
• $\lambda$ a vetület azimutja,
• $\varphi$ a vezérsugár deklinációja.

Poláris gömbkoordináták

a $P(R,\lambda ,\beta )$ koordinátái:

• $R$ az $OP$ vezérsugár hossza,
• $\lambda$ a vetület azimutja,
• $\beta$ a vezérsugár pólustávolsága.

Néhány forrás ez utóbbira a kúpkoordináták elnevezést használja.

Görbevonalú rendszerek

Koordinátavonalak

A síkban azok a pontok, amelyeknek az egyik koordinátája állandó (azonos), egy-egy összefüggő koordinátavonalon fekszenek. A Descartes-rendszerekben (affin rendszerek) a koordinátavonalak párhuzamos egyenesek, a poláris rendszerben közös pontból induló félegyenesek és koncentrikus körök. Azok a pontok, amelyeknek mindkét koordinátája egész, a rácspontok. A térbeli rendszereknél a koordináta felületek (nívófelületek) játszanak hasonló szerepet.

A síkon és sok más felületen megadhatunk két olyan vonalsereget, amelyek a klasszikus rendszerektől eltérő koordináta-hálózatot adnak. A matematikusok általában u és v vonalaknak nevezik, s ezek akkor alkothatnak koordináta-rendszert, ha

• minden u vonal metsz minden v vonalat (folytonosság),
• egy pontra pontosan egy vonalpár illeszkedik (egyértelműség és teljesség).

Gauss-féle koordináták

Gauss-féle koordináták

Görbült felületeken leginkább a geodetikus vonalakat használjuk a koordinálásra. A síkban az egyenesek a geodetikus vonalak, az affin rendszerek tehát a sík geodetikus (Gauss-féle) koordináta-rendszerei.

Elliptikus sík-koordináták

• Az u vonalak közös fókuszú ellipszisek,
• A v vonalak ugyanezen közös fókuszokkal adott hiperbolák,
• A két vonalsereg elemei egymást merőlegesen metszik (ortogonális rendszer).

Síkbeli elliptikus polárkoordináták

A klasszikus polársík koncentrikus köreit azonos lapultságú ellipszisek váltják fel. A hálózat a klasszikus hálózat nyújtása vagy zsugorítása adja (merőleges-tengelyes affinitás).

Térbeli elliptikus hengerkoordináták

A hengerkoordináták mintájára a horizontsíkban elliptikus polárkoordinátákat használunk.

Térbeli ellipszoid koordináták

A közönséges gömbkoordináták rendszeréből a nívófelületek (koncentrikus gömbök) nyújtásával vagy zsugorításával forgási ellipszoidokat használunk (merőleges-tengelysíkos térbeli affinitás).

Homogén koordináták

A homogén rendszerek az általános projektív koordináta-rendszer speciális esetei. A (projektív) síkban egy pontot egy rendezett $(x_{0};x_{1};x_{2})$ hármas, a térben egy rendezett $(x_{0};x_{1};x_{2};x_{3})$ négyes ad meg.

Projektív sík-koordináták

A síkon kívüli $\Omega$ pontból, három – nem egy síkban fekvő – a₀, a₁, a₂ vektor tűzi ki a projektív rendszer A₀, A₁, A₂ síkbeli bázisát. A $P(x_{0};x_{1};x_{2})$ pontot a három kitűző vektor lineáris kombinációjával meghatározott

$${\underline {x}}=x_{0}{\underline {a_{0}}}+x_{1}{\underline {a_{1}}}+x_{2}{\underline {a_{2}}}$$

vektor egyenesének a síkkal való döféspontja szolgáltatja. Ha a három koordinátát ugyanazzal a (nullától különböző) M számmal megszorozzuk, ugyanazt a pontot adja meg az $(Mx_{0};Mx_{1};Mx_{2})$ trojka: homogenitás.

A rendszert a térbeli $\Omega$ helyett az $E(1;1;1)$ egységponttal és az $A_{0}$, $A_{1}$, $A_{2}$ alappontokkal is kijelölhetjük, feltéve, hogy a négy pont különböző legyen és hármasával nem esnek egy egyenesre.

Baricentrikus koordináták

Ha az $E$ egységpontot az $A_{0}A_{1}A_{2}$ háromszög $S$ súlypontjában jelöljük ki, akkor a három homogén koordináta az alappontokba helyezett súlyokat képviseli, s a velük adott pont e hármas pontrendszer súlypontját jelenti.

Plücker-féle koordináták

Ha az $A_{1}$ és $A_{2}$ alappontokat a sík ideális egyenesén jelöljük ki, affin rendszert kapunk. Ha ennek tengelyei ($A_{0}A_{1}$ és $A_{0}A_{2}$) merőlegesek, akkor a rendszer ortogonális. Ha az $E$ egységpont a merőleges tengelyek szögfelezőjébe esik, akkor ortonormált rendszert kapunk.

Ha ennek a Plücker-féle ortonormált rendszernek a tengelyeit a klasszikus Descartes-rendszer tengelyeinek megfeleltetjük, akkor a sík egy $P$ pontját a kétféle rendszerben az $(x;y)$ Descartes-i és az $(x_{0};x_{1};x_{2})$ Plücker-féle koordináták egyenértékűen határozzák meg, ha közöttük a következő egyenlőségek teljesülnek:

$x={\frac {x_{1}}{x_{0}}}$ és $y={\frac {x_{2}}{x_{0}}}$, ha $\left\vert x_{0}\right\vert >0$,

illetve

$(x_{0};x_{1};x_{2})=(1;x;y)$

A $(0;x;y)$ koordinátahármas ideális pontot jelöl.

Megjegyzés: Néhány forrás a Plücker-koordinátákat csak homogén koordinátáknak nevezi és az $(x;y;1)$ jelölést alkalmazza.

Források

• J. N. Bronstein – K. A. Szemengyajev: Matematikai zsebkönyv. Budapest: Műszaki. 1987. ISBN 963-10-5309-1  
• Pattantyús: I. Matematikai képletek, táblázatok. Főszerk. Sályi István. Budapest: Műszaki. 1961.  
• Hajós György: Bevezetés a geometriába. Budapest: Tankönyvkiadó. 1960.  
• Szász Pál: A differenciál- és integrálszámítás elemei. Budapest: Közoktatásügyi. 1951.  
• Reiman István: Matematika. Budapest: Műszaki. 1992.  
• Hack Frigyes et al: Négyjegyű függvénytáblázatok, … Budapest: Nemzeti Tankönyvkiadó. [é. n.]  
• Péntek Kálmán, dr: A lineáris algebra alapjai. Szombathely: Oskar. 2000.  
• Free On-line Dictionary of Computing (angol nyelven). (Hozzáférés: 2016. november 3.)

Kapcsolódó szócikkek

• Euler-szögek