Ellipszoid

Ellipszoid

A térgeometriában az ellipszoid olyan másodrendű felület, amelynek egyenlete alkalmasan orientált derékszögű koordináta-rendszerben

${x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1$,

ahol a, b és c pozitív valós számok, amelyek meghatározzák az ellipszoid alakját. A speciális $a=b=c$ esetben az ellipszoid egy a sugarú, origó középpontú gömb. Ha a, b és c közül kettő egyenlő, akkor az ellipszoidot szferoidnak nevezzük.

Javasolt elnevezése a forgatás tengelyétől függően lapos, vagy lencseszferoid illetve hosszúkás, vagy orsószferoid.

A három koordinátasík szimmetriasíkja az ellipszoidnak, és minden nem üres síkmetszete ellipszis.

Az ellipszoid térfogatát a

$V={\frac {4}{3}}\pi abc.\,\!$

képlet adja. Az ellipszoid felszíne általában nem fejezhető ki a, b és c elemi függvényeként.

Felszín

Az általános ellipszoid felszíne nem fejezhető ki az olyan elemi függvényekkel, mint az arkusz tangens vagy az arkusz szinusz. A felszín Legendre nyomán az elliptikus integrálokkal írható le:

Jelöljük az ellipszoid tengelyeit úgy, hogy $a>b>c$ legyen. Ekkor

$k={\frac {a}{b}}{\frac {\sqrt {b^{2}-c^{2}}}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}$ és $\varphi =\arcsin {\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}$,

így az integrálok

$E(k,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\sqrt {\frac {1-k^{2}x^{2}}{1-x^{2}}}}\ \mathrm {d} x$ és $F(k,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{{\sqrt {1-x^{2}}}{\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}}}\ \mathrm {d} x.$

Ezzel a felszín

$A=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi b}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\left(c^{2}F(k,\varphi )+(a^{2}-c^{2})E(k,\varphi )\right).$

Helyettesítsük be most k-t, $\varphi$-t,

$u={\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}$ -t, és  $v={\frac {\sqrt {b^{2}-c^{2}}}{b}}$-t

az A egyenletbe. Ezzel

$A=2\pi c^{2}+2\pi ab\int _{0}^{1}{\frac {1-u^{2}v^{2}x^{2}}{{\sqrt {1-u^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-v^{2}x^{2}}}}}\ \mathrm {d} x.$

Knud Thomsen integrálmentes közelítő formulája:

$A\approx 4\pi \!\left({\frac {(ab)^{1.6}+(ac)^{1.6}+(bc)^{1.6}}{3}}\right)^{0.625}\,\!.$

Ez a képlet legfeljebb 1,2%-kal tér el a pontos felszíntől.

Egyre laposabb ellipszoidokat véve, ahol $\left(c\to 0\right)$ a felszínképlet a $2\pi ab$-hez tart. Ez az a és b tengelyű ellipszis területének kétszerese.

A forgási ellipszoidok, azaz a szferoidok felszíne

Legyen $a\geq b\geq c$ és legyen $\varepsilon ={\sqrt {1-\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}}}$ az $y=0$ egyenletű síkkal vett metszet numerikus excentricitása.

Ekkor a lapos, lencseszferoid felszíne $a=b>c$ (forgástengely = z-tengely)

$A=2\pi a^{2}\left(1+\left({\frac {c}{a}}\right)^{2}\,{\frac {\operatorname {arth} \,\varepsilon }{\varepsilon }}\right)$

és az orsószferoidé $a>b=c$ (forgástengely = x-tengely)

$A=2\pi c^{2}\left(1+{\frac {a}{c}}\,{\frac {\arcsin \,\varepsilon }{\varepsilon }}\right).$

A szferoidok felszínképletének levezetése

Lencseszferoid

b = a, tehát k = 1, ebből $E(1,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }\ \mathrm {d} x=\sin \varphi ={\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}$ és $F(1,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-x^{2}}}\ \mathrm {d} x=\operatorname {arth} (\sin \varphi )=\operatorname {arth} ({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}).$

Legendre egyenletébe helyettesítve:

$A=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi a}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\left(c^{2}\operatorname {arth} ({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}})+(a^{2}-c^{2}){\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}\right).$

Orsószferoid

b = c, tehát k = 0, ebből $E(0,\varphi )=F(0,\varphi )=\int _{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\ \mathrm {d} x=\arcsin(\sin \varphi )=\arcsin({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}}).$

Legendre egyenletébe helyettesítve:

$A=2\pi c^{2}+{\frac {2\pi c}{\sqrt {a^{2}-c^{2}}}}\left(c^{2}\arcsin({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}})+(a^{2}-c^{2})\arcsin({\frac {\sqrt {a^{2}-c^{2}}}{a}})\right).$

Paraméterezés

Jelölje $\beta \,\!$ a parametrikus szélességet, és ${\color {white}+}\!\!\!\lambda {\color {white}'}\,\!$ a parametrikus hosszúságot. Ekkor az ellipszis a következőképpen paraméterezhető:

${\begin{aligned}x&=a\,\cos(\beta )\cos(\lambda );\!{\color {white}|}\\y&=b\,\cos(\beta )\sin(\lambda );\\z&=c\,\sin(\beta );\end{aligned}}\,\!$

${\begin{matrix}-{\frac {\pi }{2}}\leq \beta \leq +{\frac {\pi }{2}};\quad -\pi \leq \lambda \leq +\pi ;\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}\,\!$

Ez a paraméterezés nem egy-egyértelmű a pólusoknál, ahol $\scriptstyle {{\color {white}|}\beta =\pm {\frac {\pi }{4}}}{\color {white}|}\,\!$

Gömbi koordinátákkal,

${\begin{aligned}x&=a\,\sin(\phi )\cos(\theta );\!{\color {white}|}\\y&=b\,\sin(\phi )\sin(\theta );\\z&=c\,\cos(\phi );\end{aligned}}\,\!$

${\begin{matrix}0\leq \theta \leq 2\pi ;\quad {0}\leq \phi \leq \pi ;\!{\color {white}{\big |}}\end{matrix}}\,\!$

Lineáris transzformációk

Ahogy a spektrálelméletből tudjuk, egy invertálható lineáris transzformáció a gömböt ellipszoidba viszi. Ha a lineáris transzformáció mátrixa szimmetrikus, akkor a mátrix sajátvektorai ortogonálisak, és megadják az ellipszoid tengelyeinek irányát. A féltengelyek hossza a sajátértékektől függ.

Ellipszoid és sík metszete vagy üres, vagy (egy esetleg egy pontú) ellipszis, ami kör is lehet.

A fentiek általánosíthatók magasabb dimenzióra is, ahol is a gömb képét nevezzük ellipszoidnak. A spektrálelmélet hasonló eredményeket ad.

Tojás alak

A tyúktojás alakja két egymáshoz simított fél ellipszoiddal közelíthető, melyek forgástengelye közös. Az egyik lapos, vagy közel gömb, a másik hosszúkás. A tojás alak rendszerint az egyenlítőre vett szimmetria hiányára utal.

Források

• Ellipszoid felszínének és térfogatának számítása online
• "Jeff Bryant: Ellipszoid" Wolfram Demonstrations Project, 2007.
• Ellipszoid és
• Másodfokú felület, MathWorld.