Unió (halmazelmélet)

Az unió szó további jelentéseihez lásd az Unió (egyértelműsítő lap) című szócikket.

Az unió a halmazelmélet egy művelete, ami két vagy több halmazból úgy képez egy új halmazt, hogy az így létrejövő halmaz az eredeti halmazok összes elemét tartalmazza és más elemet ne tartalmazzon.

Az A és B halmazok uniója

Definíció

Ha $A$ és $B$ halmazok, akkor az $A$ és $B$ egyesítésének (vagy más szóval uniójának) nevezzük és $A\cup B$ (szóban: „á unió bé”) módon jelöljük azon elemek összességét, melyek $A$ illetve $B$ közül legalább az egyikben benne vannak. Ezt szimbolikusan így írjuk: $A\cup B=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}$.

Megjegyzés: Azt, hogy $A\cup B$ halmaz, az úgynevezett egyesítési axióma mondja ki.

Hasonlóan el lehet készíteni egy akárhány halmazból álló $\{A_{i}\,|\,i\in I\}$ halmazrendszer elemeinek $\bigcup _{i\in I}A_{i}$ unióját:

Legyenek $A_{i}$ $(i\in I)$ tetszőleges halmazok, ahol $I$ tetszőleges indexhalmaz. Az $A_{i}$ halmazok egyesítése (vagy más néven uniója) a következő halmaz:

$\bigcup _{i\in I}A_{i}=\{x\mid \exists i\in I:x\in A_{i}\}$.

Tulajdonságok

Az halmazok egyesítése idempotens, kommutatív, asszociatív művelet, azaz tetszőleges $A$, $B$, $C$ halmazok esetén:

• $A\cup A=A$; (idempotencia)
• $A\cup B=B\cup A$; (kommutativitás)
• $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$; (asszociativitás)

illetve az egyesítés disztributív a metszet műveletre, és a metszet művelet disztributív az egyesítésre:

• $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$; (disztributivitás)
• $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$; (disztributivitás)

továbbá:

• $A\cup \emptyset =A$

Hivatkozások

• Szendrei, Ágnes: Diszkrét matematika. Logika, algebra, kombinatorika, Polygon JATE Press, Szeged, 1994