Félcsoport

A matematikában az asszociatív grupoidokat félcsoportoknak nevezzük. Részletesebben ez azt jelenti, hogy a félcsoport egy olyan egyműveletes $(S;*)$ algebrai struktúra, amelyben a $*$ binér művelet asszociatív. Ha a $*$ művelet kommutatív is, akkor kommutatív félcsoportról beszélünk.

Definíció

Legyen $(S;*)$ tetszőleges grupoid. Azt mondjuk, hogy $(S;*)$ félcsoport, ha a $*$ művelet asszociatív, azaz ha az $S$ un. alaphalmaz tetszőleges $a,b,c$ elemeire $a*(b*c)=(a*b)*c$ teljesül. Ha a $*$ művelet kommutatív is, azaz $a*b=b*a$ teljesül tetszőleges $a,b\in S$ elemekre, akkor kommutatív félcsoportról beszélünk.

Tetszőleges $(S;*)$ félcsoportban érvényes az általános asszociativitás törvénye, azaz a $*$ művelet eredménye nem függ a zárójelezéstől, csupán a vizsgált kifejezésben szereplő elemek sorrendjétől. Kommutatív félcsoportban érvényes az általános kommutativitás törvénye, azaz a művelet eredménye nem csak a zárójelezéstől független, hanem a kifejezésben szereplő elemek sorrendjétől is.

Egy $(S;*)$ félcsoport tetszőleges $a$ eleme esetén az $a*a$ elemet kétféleképpen szoktuk jelölni. Vagy (a számok összegének mintájára) $2a$, vagy pedig (a számok szorzatának mintájára) $a^{2}$ módon. Ilyenkor azt is szoktuk mondani, hogy (az első esetben) additív írásmódot, illetve (a második esetben) multiplikatív írásmódot használunk, a művelet jeleként pedig az összeadás, illetve a szorzás jelét használjuk; multiplikatív írásmód esetén gyakran el is hagyjuk a szorzás jelét: $a\cdot b$ helyett $ab$-t írunk. Additív írásmód esetén az $n$-tagú $a+\cdots +a$ összeget $na$, multiplikatív írásmód esetén az $n$-tényezős $a\cdots a$ szorzatot $a^{n}$ módon jelöljük; itt $n$ pozitív egész szám. Egy félcsoport tetszőleges $a$ és $b$ elemeire és tetszőleges $n,m$ pozitív egészekre érvényesek az alábbiak.

Additív írásmód esetén:

• $(n+m)a=na+ma,$
• $(nm)a=n(ma)=m(na),$
• Ha a félcsoport kommutatív, akkor $n(a+b)=na+nb.$

Multiplikatív írásmód esetén:

• $a^{(n+m)}=a^{n}a^{m},$
• $a^{(nm)}=(a^{n})^{m}=(a^{m})^{n},$
• Ha a félcsoport kommutatív, akkor $(ab)^{n}=a^{n}b^{n}.$

A továbbiakban multiplikatív írásmódot használunk, és a félcsoportokat csak az alaphalmazukkal jelöljük.

Részfélcsoport, ideál

Egy $S$ félcsoport részfélcsoportján az $S$ halmaz olyan nem üres $B$ részhalmazát értjük, amely maga is félcsoport az $S$-beli műveletre nézve, azaz tetszőleges $b_{1},b_{2}\in B$ elemek esetén $b_{1}b_{2}\in B$.

Egy $S$ félcsoport $B$ részfélcsoportját az $S$ egy bal (jobb) oldali ideáljának nevezzük, ha tetszőleges $s\in S$ és $b\in B$ elemekre $sb\in B$ ($bs\in B$) teljesül. Ha $B$ az $S$ bal oldali és egyben jobb oldali ideálja is, akkor $B$-ről azt mondjuk, hogy az $S$ egy ideálja. Minden $S$ félcsoportnak $S$ egy bal oldali ideálja (jobb oldali ideálja, ideálja). Ha $S$-nek nincs önmagától különböző (azaz valódi) bal oldali ideálja (jobb oldali ideálja, ideálja), akkor az $S$ félcsoportot bal egyszerű (jobb egyszerű, egyszerű) félcsoportnak nevezzük.

Kitüntetett elemek félcsoportban

Azt mondjuk, hogy egy $S$ félcsoport $e$ eleme a félcsoport bal (jobb) oldali egységeleme, ha tetszőleges $a\in S$ elemre $ea=a$ ($ae=a$) teljesül. Egy félcsoport valamely elemét a félcsoport egységelemének nevezzük, ha az a félcsoport bal oldali és egyben jobb oldali egységeleme is. Minden félcsoportnak legfeljebb egy egységeleme van. Egy egységelemes félcsoportot monoidnak nevezünk.

Akkor mondjuk, hogy egy $e$ egységelemes $S$ félcsoport $b$ eleme egy $a\in S$ elem bal (jobb) oldali inverze, ha $ba=e$ ($ab=e$). A $b$ elemet az $a$ elem inverzének nevezzük, ha $b$ az $a$-nak bal oldali és egyben jobb oldali inverze is. Egy monoid minden elemének legfeljebb egy inverze van.

Egy olyan monoidot, amelyben minden elemnek van inverze, csoportnak nevezünk.

Egy $S$ félcsoport $0$ eleméről azt mondjuk, hogy a félcsoport bal (jobb) oldali nulleleme, ha tetszőleges $a\in S$ elemre $0a=0$ ($a0=0$) teljesül. Egy félcsoport valamely elemét a félcsoport nullelemének nevezzük, ha az a félcsoport bal oldali és egyben jobb oldali nullelem is.

Egy félcsoport $e$ elemét idempotens elemnek nevezzük, ha $e^{2}=e$. Egy félcsoport egységeleme, illetve nulleleme idempotens elemek. Kötegen olyan félcsoportot értünk, melynek minden eleme idempotens elem. Egy kommutatív köteget félhálónak nevezünk.

Egy $S$ félcsoport $a$ eleméről azt mondjuk, hogy a félcsoport reguláris eleme, ha van $S$-nek olyan $x$ eleme, melyre $axa=a$ teljesül. Világos, hogy egy félcsoport minden idempotens eleme reguláris elem. Egy olyan félcsoportot, melyben minden elem reguláris elem reguláris félcsoportnak nevezünk.

Egy $S$ félcsoport $b$ eleméről azt mondjuk, hogy egy $a\in S$ elem Neumann-féle inverze, ha $aba=a$ és $bab=b$. Világos, hogy ha $b$ Neumann-féle inverze $a$-nak, akkor $a$ Neumann-féle inverze $b$-nek (azaz $a$ és $b$ egymás Neumann-féle inverzei). Könnyen ellenőrizhető, hogy ha $a$ egy $S$ félcsoport reguláris eleme úgy, hogy $axa=a$, akkor $a$ és $xax$ egymás Neumann-féle inverzei. Ha egy reguláris félcsoportban minden elemnek pontosan egy Neumann-féle inverze van, akkor a félcsoportot inverz félcsoportnak nevezzük.

Példák félcsoportokra

• A természetes számok halmaza az összeadás művelettel.
• A természetes számok halmaza a szorzás művelettel.
• Tetszőleges $L$ nem üres halmaz az $a*b:=a$ ($a,b\in L$) művelettel. Ebben a félcsoportban minden elem jobb oldali egységelem, és minden elem bal oldali nullelem (az ilyen félcsoportokat balzéró félcsoportoknak nevezzük). $L$ minden eleme idempotens elem, tehát $L$ egy köteg.
• Tetszőleges $R$ nem üres halmaz az $a*b:=b$ ($a,b\in R$) művelettel. Ebben a félcsoportban minden elem bal oldali egységelem, és minden elem jobb oldali nullelem (az ilyen félcsoportokat jobbzéró félcsoportoknak nevezzük). $R$ minden eleme idempotens elem, tehát $R$ egy köteg.
• Tetszőleges $X$ és $Y$ nem üres halmazok esetén az $X\times Y$ Descartes szorzat, ahol a művelet a következőképpen van értelmezve $(x_{1},y_{1})(x_{2},y_{2})=(x_{1},y_{2})$. Ez a félcsoport egy speciális köteg; az ilyen félcsoportot derékszögű kötegnek nevezzük.
• Tetszőleges nem üres $X$ halmaz összes önmagába való egyértelmű leképezéseinek (azaz transzformációinak) $T_{X}$ halmaza, ahol a művelet a leképezések szokásos kompozíciója. Ezt a félcsoportot az $X$ halmaz feletti teljes transzformációfélcsoportnak nevezzük.

Tulajdonságok

• Minden félcsoport izomorf egy teljes transzformációfélcsoport valamely részfélcsoportjával.
• Ha egy félcsoportnak van jobb oldali és bal oldali egységeleme, akkor ez a félcsoport egyetlen jobb oldali egységeleme, egyetlen bal oldali egységeleme, s így egyetlen egységeleme.
• Egy $S$ félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha a művelet invertálható, azaz tetszőleges $a,b\in S$ elemekhez megadhatók olan $x,y\in S$ elemek, melyekre $ax=b$ és $ya=b$ teljesülnek.
• Egy $S$ félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha van egy $e$ bal oldali egységeleme és $S$ minden $a$ elemének van $e$-re vonatkozó bal oldali inverze, azaz létezik olyan $b\in S$ elem, melyre $ba=e$ teljesül.
• Érvényes az előző tétel duálisa, azaz egy $S$ félcsoport akkor és csak akkor csoport, ha van egy $e$ jobb oldali egységeleme és $S$ minden $a$ elemének van $e$-re vonatkozó jobb oldali inverze, azaz létezik olyan $b\in S$ elem, melyre $ab=e$ teljesül.
• Ha egy félcsoportnak van jobb oldali és bal oldali nulleleme, akkor ez a félcsoport egyetlen jobb oldali nulleme, egyetlen bal oldali nulleleme, s így egyetlen nulleleme.
• Ha $a$ egy $S$ félcsoport reguláris eleme úgy, hogy $axa=a$ teljesül valmely $x\in S$ elemre, akkor az $ax$ és $xa$ elemek a félcsoport idempotens elemei.
• Egy reguláris félcsoport akkor és csak akkor inverz félcsoport, ha idempotens elemei felcserélhetők egymással, azaz $ef=fe$ teljesül a félcsoport tetszőleges $e$ és $f$ idempotens elemeire.
• Egy köteg akkor és csak akkor derékszögű köteg, ha tetszőleges $a$ és $b$ elemeire $aba=a$ teljesül.
• Egy félcsoport akkor és csak akkor derékszögű köteg, ha izomorf egy balzéró félcsoportnak és egy jobbzéró félcsoportnak a direkt szorzatával.
• Egy $S$ félcsoport akkor és csak akkor bal egyszerű (jobb egyszerű, egyszerű), ha tetszőleges $a\in S$ elem esetén $Sa=S$ ($aS=S$, $SaS=S$) teljesül.

Kapcsolódó szócikkek

• Monoidok
• Növelő részfélcsoportok

Hivatkozások

• A.H. Clifford and G.B. Preston, The Algebraic Theory of Semigroups, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., I (1961), II (1967)
• A. Nagy, Special Classes of Semigroups, Kluwer Academic Publishers, Dordrecht/Boston/London, 2001
• Rédei László, Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
• Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)

Források

• félcsoport a PlanetMath-on.