Affin transzformáció

Az affin transzformáció az affin geometriában használt, illetve a lineáris algebra részeként is tárgyalható fogalom. Egy affin transzformáció során a transzformált koordináták az eredeti koordináták lineáris függvényeként állnak elő. Ide tartoznak a lineáris transzformációk.

Descartes-koordinátarendszerben

Descartes-koordinátarendszert feltételező esetben az affin transzformációk általános alakját a következőképpen írhatjuk fel:

${\overset {\text{Transzformált koordináták}}{\begin{bmatrix}\color {Blue}X^{'},&\color {Blue}Y^{'},&\color {Blue}Z^{'}\\\end{bmatrix}}}={\overset {\text{ Eredeti koordináták}}{\begin{bmatrix}\color {Red}X,&\color {Red}Y,&\color {Red}Z\\\end{bmatrix}}}\cdot {\overset {3\times 3{\text{ mátrix}}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\\\end{bmatrix}}}+{\overset {P{\text{ Vektor}}}{\begin{bmatrix}P_{x},&P_{y},&P_{z}\\\end{bmatrix}}}$

Ahol a 3x3 -as A mátrix valamilyen lineáris transzformáció mátrixa ami lehet skálázás, forgatás, fordítás, billentés, csavarás vagy ezek tetszőleges konkatenáltja. A P vektor pedig valamilyen eltolás vektoraként értelmezhető.

Homogén koordinátákkal

Homogén koordináták használata esetén egyetlen mátrixszorzással felírható:

${\overset {\text{Transzformált koordináták}}{\begin{bmatrix}\color {Blue}X^{'},&\color {Blue}Y^{'},&\color {Blue}Z^{'},&\color {Blue}1\\\end{bmatrix}}}={\overset {\text{Eredeti koordináták}}{\begin{bmatrix}\color {Red}X,&\color {Red}Y,&\color {Red}Z,&\color {Red}1\\\end{bmatrix}}}\cdot {\overset {4\times 4{\text{ mátrix}}}{\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}&0\\A_{21}&A_{22}&A_{23}&0\\A_{31}&A_{32}&A_{33}&0\\P_{x},&P_{y},&P_{z}&1\\\end{bmatrix}}}$

Kapcsolódó szócikkek

• Affin geometria
• Affin kombináció
• Affin koordináták
• Tengelyes affinitás