Egész számok

Az egész számok szimbóluma

Egész számoknak nevezzük a 0,1,2, … és −1,−2, … számokat. Az egész számok halmazának tehát részhalmaza a természetes számok halmaza.

Az egész számok halmazát Z-vel (általában tipográfiailag kiemelve, mint Z vagy $\mathbb {Z}$) jelöljük. Az egész számok halmaza végtelen, hisz a természetes számok halmazát tartalmazza. Sokkal meglepőbb, hogy az egész számok halmazának számossága megegyezik a természetes számok halmazának számosságával. Szemléletesen ez azt jelenti, hogy matematikai értelemben ugyanannyi elemük van, holott az egyik halmaz tartalmazza a másikat.

Matematikai definíció

A piros pontok a természetes számok rendezett párjait mutatják. Az összekötött piros pontok a vonal végén kékkel írt egész számot reprezentáló ekvivalenciaosztályok.

A természetes számok $\mathbb {N}$ halmazát ismertnek feltételezve a következőképpen definiálhatjuk az egész számokat: Tekintsük a $\mathbb {N} \times \mathbb {N}$ Descartes-szorzatot, amely természetes számok rendezett párjaiból áll. Értelmezzük ezeken a párokon a (m,n)~(m',n'), ha m+n'=m'+n relációt, az (m,n)+(m',n')=(m+m',n+n') összeadást, és az $(m,n)\cdot (m'n')=(m\cdot m'+n\cdot n',m\cdot n'+m'\cdot n)$ szorzást, valamint az (m,n)≤(m'n')-t, ha m+n'≤m'+n relációt. A ~ reláció ekvivalenciareláció. Az ekvivalenciaosztályok halmazát jelöljük $\mathbb {Z}$-vel. Az így nyert $\mathbb {Z}$ halmazt nevezzük az egész számok halmazának.

Mindegyik ekvivalenciaosztály reprezentálható az (n,0) vagy (0,n) (vagy akár egyszerre mindkettő) alakú elemével. Az n természetes számot az [(n,0)] osztály azonosítja (más szóval a természetes számok beágyazhatók $\mathbb {Z}$-be), illetve a [(0,n)] osztályt –n-nel jelöljük (így megkaptuk az összes ekvivalenciaosztályt, a [(0,0)] osztályt kétszer, hiszen –0=0).

Így az [(a,b)]-t

${\begin{cases}a-b,&{\mbox{ha }}a\geq b\\-(b-a),&{\mbox{ha }}a<b\end{cases}}$

módon jelölhetjük.

Ez a jelölés az egész számok megszokott reprezentációját adja: {... –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Például:

${\begin{aligned}0&=[(0,0)]&=[(1,1)]&=\cdots &&=[(k,k)]\\1&=[(1,0)]&=[(2,1)]&=\cdots &&=[(k+1,k)]\\-1&=[(0,1)]&=[(1,2)]&=\cdots &&=[(k,k+1)]\\2&=[(2,0)]&=[(3,1)]&=\cdots &&=[(k+2,k)]\\-2&=[(0,2)]&=[(1,3)]&=\cdots &&=[(k,k+2)].\end{aligned}}$

$\mathbb {Z}$ elemei a szokásos műveletekkel gyűrűt alkotnak. Az (a,b) pár additív inverze a (b,a) pár.

Tulajdonságok

Az egész számok halmaza az összeadással Abel-csoportot (kommutatív csoportot), a szorzással kommutatív félcsoportot képez. A disztributivitás miatt az egész számok halmaza a fent definiált összeadással és szorzással gyűrűt (speciálisan euklideszi gyűrűt) alkot.

Az egész számok halmaza zárt (a négy alapművelet közül) az összeadásra, a kivonásra és a szorzásra.

Az egész számok halmaza (a szokásos rendezéssel) lineárisan rendezett.

Számossága

Az egész számok halmazának számossága megszámlálhatóan végtelen (szokásos jelöléssel $\aleph _{0}$), ami megegyezik a természetes számok számosságával. Két halmaz számossága ugyanis akkor egyezik meg, ha létezik egy, a két halmaz között értelmezett bijekció. Ebben az esetben is létezik ilyen függvény, mégpedig pl:

$f:\mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {N}$

$f(x):={\begin{cases}2x&{\mbox{ha }}x\geq 0\\-2x-1&{\mbox{ha }}x<0\end{cases}}$

Vagyis minden nemnegatív egész számhoz hozzárendeljük a páros természetes számokat, minden negatív számhoz pedig a páratlanokat. Az egész számok minden elemét képezzük valahova, és az összes természetes számba képezünk, ezért ez bijekció, azaz a két halmaz számossága megegyezik.

Források

• Az egész számok a MathWorld-ön