Részhalmaz

A részhalmaza B-nek, azaz B tartalmazza A-t.

A halmazelméletben egy halmaz valamely elemeinek a halmazát, összességét az adott halmaz részhalmazának nevezzük, beleértve azt az esetet is, amikor az adott halmaz összes elemét kiválasztjuk és azt is, amikor a halmazból egyetlen elemet sem választottunk ki. Az így értelmezett részhalmaz fogalma a halmazelmélet egyik alapvető fogalma.

Definíció

Legyenek $A$ és $B$ tetszőleges halmazok. Azt mondjuk, hogy $A$ részhalmaza a $B$ halmaznak, és így jelöljük $A\subseteq B$, ha az a $A$ halmaz összes elemét tartalmazza a $B$ halmaz, azaz $\forall a\in A:a\in B$.
Ha $A\subseteq B$, de $A\neq B$, azaz $B$-nek van legalább egy olyan eleme, amely nem eleme $A$-nak, akkor azt mondjuk, hogy $A$ valódi részhalmaza $B$-nek, és ezt így jelöljük: $A\subset B$.

Tulajdonságok

• Minden halmaz önmagának részhalmaza, azaz tetszőleges $A$ halmazra teljesül, hogy $A\subseteq A$.
• Az üres halmaz minden halmaznak részhalmaza, azaz tetszőleges $A$ halmazra teljesül, hogy $\emptyset \subseteq A$.
• Ha $A\subseteq B$ és $B\subseteq A$, akkor $A=B$.
• Ha $A\subseteq B$ és $B\subseteq C$, akkor $A\subseteq C$.
• $A\subseteq B$ pontosan akkor áll fenn, ha $A\cup B=B$.
• $A\subseteq B$ pontosan akkor áll fenn, ha $A=A\cap B$.
• $A\subseteq B$ pontosan akkor áll fenn, ha $A\backslash B=\emptyset$.

A számhalmazok kapcsolata

• N = természetes számok halmaza (0, 1, 2, …)
• Z = egész számok halmaza (…,-3, -2, -1, 0, 1, 2,…)
• Q = racionális számok halmaza (z1 / z2 alakú számok, ahol z1, z2 ∈ Z ∩ z2 ≠ 0)
• Q' = irracionális számok halmaza (olyan számok, amelyek nem írhatók fel z1/z2 alakban, ahol (z1,z2)=1, tehát relatív prímek)
• R = valós számok halmaza (a racionális és irracionális számok összessége (Q ∪ Q'))

Ekkor: N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R, továbbá Q' ⊂ R.

Lásd még

• Hatványhalmaz

Hivatkozások

• Rédei László: Algebra I., Akadémiai Kiadó, Budapest (1954)
• Szendrei Ágnes, Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
• Hajnal András, Hamburger Péter: Halmazelmélet, Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 3. kiadás, (1994) ISBN 963-18-5998-3

Külső hivatkozások

• Subset a MathWorld oldalán