Halmazelmélet

A halmazelmélet - a matematikai logikával együtt - a matematika legalapvetőbb tudományága, mely a halmaz fogalmát tanulmányozza.

A matematikán belül kettős szerepe van. Mint önálló tudomány, elsősorban a végtelen sok elemű matematikai összességek mennyiségi viszonyaival foglalkozik (számosságaritmetika), ti. miképp lehet a véges (egész) számokra megszokott aritmetikai és algebrai törvényeket a végtelen számosságokra átvinni, illetve utóbbiak körében milyen új törvényszerűségek érvényesülnek; ezzel összefüggésben azonban a matematikai logikai és struktúraelméleti (pl. topológiai) módszerekhez hasonlatos eszközökkel, a végtelen halmazok elméletének matematikai megalapozására irányuló vizsgálatokat is folytat.

Mint (egy bizonyos értelemben) alkalmazott tudomány, a halmazelmélet felhasználható gyakorlatilag a teljes matematika megalapozására. Ez mutatja a halmazelmélet alapvető jelentőségét (lásd még: matematikafilozófia).

A halmazelmélet megalkotója Georg Cantor német matematikus, aki a végtelen halmazokra és a halmazok számosságaira vonatkozó úttörő kutatásaival nemcsak a halmazelméletet indította útjára, hanem gyökeresen megváltoztatta a matematika egész arculatát. Elmélete, az utóbb ellentmondásosnak bizonyult naiv halmazelmélet, megreformálásra szorult ugyan, de alapkoncepciói beépültek a matematika minden szegletébe. A 20. század elején Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel, Neumann János és Kurt Gödel munkássága révén sikerült axiomatikus alapokra hozni a halmazelméletet (lásd még: axiomatikus halmazelmélet). A halmazelmélet elterjedésében nem kis szerepe volt az ún. Bourbaki-csoportnak, valamint egyes középiskolai reformoknak.

Történet és áttekintés

A 19. század vége felé két matematikus, Richard Dedekind és Georg Cantor magán a fogalmak szigorúbb definícióján túlmutató jelentőségű eredményeket ért el a valós számok elméletében. Richard Dedekind bebizonyította, hogy a racionális és irracionális számok mindenhol sűrűn helyezkednek el a valós számok között, azaz minden intervallumban - legyen bármilyen kicsi - van akár irracionális, akár racionális szám. Georg Cantor pedig azt bizonyította be, hogy a valós számok halmaza nem lehet megszámlálhatóan végtelen (a Cantor-tétel egy speciális esete, melyet az átlós eljárással igazolt). Ennek a cikknek az 1874-es publikálását tekintjük a halmazelmélet megszületésének.

A halmazelmélet cantori szemlélete szerint

tetszőleges $T$ tulajdonság egy olyan halmazt határoz meg, mely azokat az elemeket tartalmazza, melyekre $T$ teljesül.

Ez a komprehenzivitási elv, mely azonban a naiv halmazelmélet javíthatatlan hibáinak forrásává vált. A naiv halmazelméletben ugyanis Bertrand Russell 1904-ben (és ezzel egy időben sokan mások is, például maga Cantor) ellentmondást, úgynevezett antinómiát fedezett fel (lásd: Russell-paradoxon). Mivel közben az is kiderült, hogy a matematika csaknem teljesen a halmazelméletre alapozható, ezért ezek az ellentmondások az egész matematika számára is problémát jelentettek.

Legelőször Zermelo végzett eredményes kutatásokat az említett ellentmondások kiküszöbölésére. Zermelo vizsgálatait Fraenkel bővítette – kialakítva az úgynevezett Zermelo–Fraenkel-féle axiómarendszert. Más halmazelméleti axiómarendszereket is alkottak (például a Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet), melyek nagyban hozzájárultak a modern halmazelméleti kutatások eredményességéhez.

A halmazelmélet alapkoncepciói

A halmazelméletben mindent le lehet írni két kifejezéssel. Az egyik a „halmaz”, a másik az a kijelentés, hogy egy adott dolog „eleme” egy halmaznak. Ezek a halmazelmélet alapfogalmai.

Tulajdonságok és igazságtartományok

A halmazelmélet legfontosabb objektumai azok a halmazok, melyek egy adott halmaz adott tulajdonságnak eleget tévő elemeiből állnak. Például a természetes számok halmazának, az

$\mathbb {N} =\{0,1,2,3,4,...\}$

halmaznak kiválaszthatjuk azon elemeit, melyek négyzetszámok, azaz előállnak egy természetes szám négyzeteiként:

$S=\{0,1,4,9,16,...\}\,$

Amikor valamely szabályosság, vagy tulajdonság teljesül egy halmaz elemeire, akkor ezt az

$\{x\in H\mid T(x)\}$

összetett szimbólummal jelöljük (melyet olyan x-ek a H-ból, melyekre teljesül T(x) -ként mondunk ki) és ahol az ' x ∈ H ' azt jelöli, hogy egy H halmaz elemeiről van szó, a | (függőleges vonal) azt, hogy ezek közül azokat gyűjtjük össze egy halmazba, melyekre igaz a T(x) tulajdonság. Ez lényegében nem más, mint a T tulajdonság igazságtartománya. A példában eszerint

$S=\{x\in \mathbb {N} \mid x=n^{2},\;n\in \mathbb {N} \}$

A végtelen halmazelméleti fogalma

Megjegyezzük, hogy már Galilei is rámutatott, hogy a négyzetszámok „ugyanannyian” vannak, mint a természetes számok. Ezt Cantor a kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésekkel fogalmazta meg. Két halmaz azonos számosságú (lényegében azonos elemszámú), ha az egyik halmaz minden elemét hozzárendelhetjük a másik halmaz egy-egy eleméhez oly módon, hogy különbözőkhöz mindig különbözőket rendelünk. Például az $n$ $\mapsto$ $n^{2}$ ilyen tulajdonságú, és ekkor a természetes számok és a négyzetszámok egyenlő számosságúak (holott a négyzetszámok halmaza a természetes számoknak egy meglehetősen ritka részhalmaza).

Cantor a számosság ezen fogalmával belátta, hogy a természetes számok és a számegyenes pontjai nem azonos számosságúak, azaz nem hozhatók kölcsönösen egyértelmű megfeleltetésbe. A valós számok „sokkal többen vannak”, mint a természetes számok. Ez a Cantor-tétel egy variánsa, mely azt a meglepő eredményt közli, hogy nagyon sokféle rendű végtelen van. A végtelen számosságokkal történő számítások a halmazelméletnek máig jelentős része.

A matematika halmazelméleti létrehozása

Lásd még: rendezett pár, reláció, függvény, rendszám, számosság

A halmazelmélet arra is jó, hogy a matematikai fogalmakat előállítsuk benne. Például a 0 számra gondolhatunk úgy, mint arra a halmazra, melynek egyetlen eleme sincs, azaz az üres halmazra:

$\varnothing =\{\;\}$

Az 1 számra gondolhatunk úgy, mint egy egyelemű halmazra. A meghatározottság kedvéért legyen 1 az üres halmazt tartalmazó halmaz:

$1:=\{\varnothing \}=\{0\}$

A 2 szám legyen ebből a két halmazból álló halmaz:

$2:=\{\varnothing ,\{\varnothing \}\}=\{0,1\}$

És így tovább, az n-edik természetes szám, az összes halmazelméleti természetes szám halmaza n-ig:

$n=\{0,1,...,n-1\}\,$

Ezt a konstrukciót Neumann találta ki, Frege és Hume hasonló gondolatainak egyfajta halmazelméleti kivitelezéseként. Sőt ennek mintájára, a sort folytatva Neumann megalkotta a rendszám fogalmát és Cantor nemcsak a véges, de a végtelen számosságfogalmát is.

A halmazelméletben megfogalmazható még a rendezett pár, a függvény, a valós szám és még nagyon sok matematikai fogalom. Gyakorlatilag az összes.

Túl nagy összességek

A halmazelmélet absztraktságából (tehát hogy csak a „halmaz” és az „eleme” szavakat használja) következnek bizonyos kényelmetlenségek. A kezdetekkor azt gondolták, hogy akármilyen T tulajdonsággal képezhető az { x | T(x) } halmaz és ez is lehet eleme egy halmaznak. Gondolhatunk az { x | x ∉ x } összességre, de valójában az ellentmondás fellépése nélkül nem feltételezhetjük, hogy ez halmaz (lásd: Russell-paradoxon).

A tulajdonságokkal történő halmazképzést tehát korlátozni kell, nem lehet akármilyen dolgokat egy halmazba gyűjteni az ellentmondás fellépése nélkül. Az egyik megoldási mód ennek a korlátozásnak a kivitelezése, melyet Neumann vitt végig, és amiből a Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet született, ez a méret korlátozásának elve. A másik a halmazok egymás után, műveletek segítségével történő felépítésének útja, melyet iteratív vagy kumulatív elvnek nevezünk, és ami a Zermelo–Fraenkel-halmazelméletben ölt testet.

Halmazműveletek

A halmazok egymásután történő megalkotásának iteratív elve az alábbi, úgynevezett halmazműveleteken nyugszik.

Egyesítés, unió

Ha A és B halmazok, akkor $A\cup B$ jelöli azon elemek összességét, melyek A illetve B közül legalább az egyikben benne vannak.

$A\cup B:=\{x\mid x\in A\vee x\in B\}$

Metszet

Ha A, B halmazok, akkor $A\cap B$ jelöli a metszetüket vagy közös részüket, azaz azt a halmazt, amely pontosan A és B közös elemeit tartalmazza. Hasonlóan el lehet készíteni egy akárhány halmazból álló $\{A_{i}\,|\,i\in I\}$ halmazrendszer elemeinek $\bigcap _{i\in I}A_{i}$ metszetét.

Unióképzés és metszetképzés tulajdonságai

Idempotencia:	$A\cap A=A$	$A\cup A=A$
Kommutativitás:	$A\cap B=B\cap A$	$A\cup B=B\cup A$
Asszociativitás	$(A\cup B)\cup C=A\cup (B\cup C)\,\!$	$(A\cap B)\cap C=A\cap (B\cap C)\,\!$
Disztributivitás	$A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\,\!$	$A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\,\!$

Kivonás

Egy A és egy B halmaz különbségét a $\setminus$ művelettel képezzük, elemei pontosan azok, amelyek elemei A-nak, de nem elemei B-nek:

$A\setminus B=\{x\,|\,x\in A\wedge x\notin B\}.$

Komplementerképzés

Egy A halmaz komplementerét egy adott U alaphalmaz felett értelmezhetjük, definíciója: ${\bar {A}}\equiv U\setminus A$

Párképzés

Az a, b elemeket tartalmazó rendezett pár

$\langle a,b\rangle =\{\{a\},\{a,b\}\}.$

Ez valóban rendelkezik a rendezett pártól elvárható tulajdonsággal, ugyanis $\langle a,b\rangle =\langle c,d\rangle$ csak akkor teljesül, ha a=c és b=d.

Descartes-szorzat vagy direkt szorzat

Az A és B halmazok Descartes-féle szorzatán a következő halmazt értjük:

$A\times B=\{\langle x,y\rangle :x\in A,y\in B\}.$

A szorzathalmaz elemei rendezett párok, amely azt jelenti, hogy az elemek közül az első az első halmazból, a második a második halmazból való.

Halmazelméleti függvény

Ha adott az $A$ és $B$ halmaz, akkor az $A$-n értelmezett és $B$-be érkező függvénynek nevezzük és

$f:A\rightarrow B$

-vel jelöljük, az $A$×$B$ egy olyan $f$ részhalmazát, mely elemeinek első komponensei között az $A$ összes eleme szerepel és a reláció egyértelmű a második komponensében, tehát

• értelmezési tartománya: Dom( $f$ ) = $A$, továbbá
• minden egyes $x$ ∈ $A$ elemhez egy és csakis egy olyan $y$ ∈ $B$-beli elem található, hogy ($x$, $y$) ∈ $f$.

Egy $A$-beli $x$-hez tartozó, egyértelműen meghatározott, $B$-beli $y$ elemet

$f$ ($x$)

-szel jelöljük, így $y$ = $f$ ($x$) $\Leftrightarrow$ ($x$, $y$) ∈ $f$. Ekkor azt mondjuk, hogy $f$ az $x$ értékhez az $y$ értéket rendeli.

Egy függvényt injektívnek nevezünk, ha különbözőkhöz különbözőket rendel.

Egy $f$ : $A$ $\rightarrow$ $B$ függvényről azt mondjuk, hogy szűrjektív (vagy ráképez $B$-re), ha minden elemet felvesz értékként $B$-ből.

Azt mondjuk, hogy $f$ : $A$ $\rightarrow$ $B$ bijekció (vagy kölcsönösen egyértelmű vagy egy-egy értelmű), ha injektív és szürjektív.

Axiomatizálás

A naiv halmazelméletet követően, az ellentmondások kiküszöbölése céljából axiomatikus halmazelméleteket hoztak létre. Ezekben a halmaz és az elem fogalma alapfogalom, a halmazoktól megkövetelt legfontosabb tulajdonságokat pedig axiómák rögzítik. Ilyen axiómák például az unió műveletének elvégezhetősége (azazhogy két halmaz uniója is halmaz legyen).

A halmazelmélet axiomatizálására számos elmélet született. Ezek közül a két legfontosabb:

• A Zermelo–Fraenkel-halmazelmélet
• A Neumann–Bernays–Gödel-halmazelmélet

Ezeken kívül a probléma megoldását megtalálhatjuk Russellnél (típuselmélet) és Quine-nél (Quine-féle típuselmélet) is.