Halmaz

A halmaz a matematika egyik legalapvetőbb fogalma, melyet leginkább az „összesség”, „sokaság” szavakkal tudunk körülírni (egy Georg Cantor által adott körülírását ld. lentebb); de mivel igazából alapfogalom; így nem tartjuk definiálandónak. A halmazok általános tulajdonságaival a matematika egyik ága, a halmazelmélet foglalkozik.

A modern matematika alapvető, egységes tárgyalásmódot és számos tudományos eredményt hozó hozzáállását fejezi ki az a kijelentés, miszerint végső soron minden, a matematika által vizsgált dolog: halmaz. Szakszerűbben fogalmazva, a matematika teljes egészének, de legalábbis minden hagyományosan vizsgált területének (számelmélet, geometria, valószínűségszámítás stb.) megadható a halmazelméleti modellje. Így, annak ellenére, hogy a halmazelmélet csak a 19. században fejlődött ki, mára a modern matematika minden ágának ez a tudományág (a matematikai logika mellett) az alapja. A matematikának ez a jelenleg is uralkodó „halmazelméleti” paradigmája elsősorban a huszadik században működő matematikustársaság, a Bourbaki-csoport munkásságának köszönhető. A halmazelméleti ismeretek az elemi iskolai matematika részét is képezik.

A halmazelmélet eredeti és korai formája, a naiv halmazelmélet, ellentmondásosnak bizonyult. Ezért a matematikusok létrehoztak más, különféle axiómarendszerekre épülő, ún. axiomatikus halmazelméleteket is.

Történet és áttekintés

Fő szócikk: A halmazelmélet története

A halmazelmélet kialakulása a 19. század végére tehető, elsődleges okának ma a valós függvényanalízis bizonyos ellentmondásainak felfedezését tartjuk; melyek felvetették a valós számok elméletének szigorúbb megalapozásának igényét.

A halmazelmélet úttörői és első képviselői, az úgynevezett naiv halmazelmélet kidolgozói Georg Cantor és Richard Dedekind voltak. A halmazelmélet e paradigmája szerint a halmaz fogalma nincs matematikai precizitással meghatározva, hanem az ösztönös szemléletre támaszkodik. A naiv halmazelmélet ellentmondásokhoz, úgynevezett antinómiákhoz vezet. Ilyen például az a feltételezés, hogy létezik az összes halmazok halmaza. Mivel közben az is kiderült, hogy a matematika teljességgel visszavezethető a halmazelméletre, ezért ezek az ellentmondások az egész matematika számára is problémát jelentettek.

Megoldásképp létrejött az a paradigma, amit axiomatikus halmazelméletnek nevezünk. Erre alapozva több „rivális” halmazelmélet is keletkezett, mindegyik alapfogalmak, axiómák és logikai törvények rendszerére alapozva alkotja meg elméletét; de egymástól eltérően. A fontosabb axiómarendszerek a Zermelo-Fraenkel és a Neumann-Bernays-Gödel axiómarendszer. Eddig ezekben a rendszerekben nem találtak ellentmondásokat

Főbb fogalmak

A naiv halmazelméletben egy halmaz meghatározott, egymástól különböző objektumok gyűjteménye, összessége. Ezeket az objektumokat a halmaz elemeinek nevezzük. Azt, hogy ${\mbox{ }}{a}$ eleme az ${\mbox{ }}{A}$ halmaznak, így jelöljük: ${\mbox{ }}{a\in A}$.

Az axiomatikus halmazelméletben a halmaz és az eleme reláció alapfogalom, melyekre a halmazelmélet axiómái vonatkoznak.

Halmazok egyenlősége

Legyenek $A$ és $B$ tetszőleges halmazok. Akkor mondjuk, hogy az $A$ és $B$ halmazok egyenlőek, ha minden elemük megegyezik, és ezt így jelöljük: $A=B$.

Tetszőleges $A$, $B$, $C$ halmazokra érvényesek a következő állítások:

• $A=A$; (reflexivitás)
• ha $A=B$, akkor $B=A$; (szimmetria)
• ha $A=B$ és $B=C$, akkor $A=C$; (tranzitivitás)

Részhalmaz

$A\subseteq B$

Legyenek $A$ és $B$ tetszőleges halmazok. Azt mondjuk, hogy az $A$ halmaz részhalmaza a $B$ halmaznak (vagy más szavakkal: a $B$ halmaz tartalmazza az $A$ halmazt), ha az $A$ minden eleme a $B$ halmaznak is eleme. Ezt így jelöljük: $A\subseteq B$. Az $A$ halmazt a $B$ halmaz valódi részhalmazának nevezzük, ha $A\subseteq B$, és $A\neq B$.

Tetszőleges $A$, $B$, $C$ halmazokra érvényesek a következő állítások:

• $A\subseteq A$; (reflexivitás)
• ha $A\subseteq B$ és $B\subseteq A$, akkor $A=B$; (antiszimmetria)
• ha $A\subseteq B$ és $B\subseteq C$, akkor $A\subseteq C$; (tranzitivitás)

Üres halmaz

Azt a halmazt, amelynek egyetlen eleme sincsen, üres halmaznak nevezzük, és így jelöljük: $\emptyset$.

Hatványhalmaz

Tetszőleges $A$ halmaz összes részhalmazainak a halmazát, az $A$ halmaz hatványhalmazának nevezzük, és $P(A)$-val, $\wp (A)$-val vagy $2^{A}$-val jelöljük. A $B\in 2^{A}$ pontosan azt jelenti, hogy $B\subseteq A$.

Halmazműveletek

Halmazok egyesítése és metszete

Legyenek $A$ és $B$ tetszőleges halmazok. Azt a halmazt, amelynek minden $a$ elemére teljesül, hogy $a\in A$ és/vagy $a\in B$, az $A$ és $B$ halmazok egyesítésének (más szóval uniójának) nevezzük, és így jelöljük: $A\cup B$. Azt a halmazt pedig, amelynek minden $a$ elemére teljesül, hogy $a\in A$ és $a\in B$, az $A$ és $B$ halmazok metszetének nevezzük, és így jelöljük: $A\cap B$.

Ha $A\cap B=\emptyset$, akkor az $A$ és $B$ halmazokat diszjunkt halmazoknak nevezzük.

Tetszőleges $A,B,C$ halmazokra érvényesek a következő állítások:

• $A\cup A=A$; (idempotencia)
• $A\cap A=A$; (idempotencia)
• $A\cup B=B\cup A$; (kommutativitás)
• $A\cap B=B\cap A$; (kommutativitás)
• $A\cup (B\cup C)=(A\cup B)\cup C$; (asszociativitás)
• $A\cap (B\cap C)=(A\cap B)\cap C$; (asszociativitás)
• $A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)$; (disztributivitás)
• $A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)$; (disztributivitás)

továbbá:

• $A\cup \emptyset =A$
• $A\cap \emptyset =\emptyset$

$A\cap B$

$A\cup B$

$A\setminus B$

Halmazok különbsége és szimmetrikus különbsége

Legyenek $A$ és $B$ tetszőleges halmazok. Azt a halmazt, amelynek minden $a$ elemére teljesül, hogy $a\in A$ és $a\notin B$, az $A$ és $B$ halmazok különbségének nevezzük, és így jelöljük: $A\backslash B$. Az $(A\backslash B)\cup (B\backslash A)$ halmazt pedig az $A$ és $B$ halmazok szimmetrikus különbségének hívjuk és $A\Delta B$-vel szokás jelölni. .

Komplementer halmaz

Legyen adott valamely $U$ halmaz. Ekkor tetszőleges $A\subseteq U$ halmaz esetén az $U\backslash A$ halmazt az a $A$ halmaz komplementerének (komplementerhalmazának) nevezzük.

Halmazok Descartes-szorzata és Descartes-hatványa

Tetszőleges $a,b$ elemekre az $\{\{a\},\{a,b\}\}$ halmazt elempárnak nevezzük és $(a,b)$-vel jelöljük.

Tetszőleges $a$, $b$, $c$, $d$ elemekre $(a,b)=(c,d)$ akkor és csak akkor teljesül, ha $a=c$ és $b=d$, azaz az így definiált elempárok rendezett elempárok.

Legyenek $A,B$ tetszőleges halmazok. Az $\{(a,b)|a\in A,b\in B\}$ elempárok halmazát az $A$ és $B$ halmazok Descartes-szorzatának (vagy másképpen: direkt szorzatának) nevezzük és így jelöljük: $A\times B$. Ha $A=B$, akkor Descartes-hatványról beszélünk.

Tetszőleges $A,B,C$ halmazokra érvényes a következő állítás:

• $A\times (B\times C)=(A\times B)\times C$; (asszociativitás)

A halmazok direkt szorzata nem kommutatív művelet.

Reláció

Legyenek $A,B$ tetszőleges halmazok. Az $A\times B$ halmaz részhalmazait az $A$ és $B$ halmazok közt értelmezett relációknak (vagy hozzárendeléseknek) nevezzük, és így jelöljük: $\rho :A\to B$.

Parciális leképezés, leképezés

Legyenek $A$, $B$ tetszőleges halmazok. A ρ:$A$→$B$ $A$-ból $B$-be történő megfeleltetést $A$-t $B$-be képező parciális leképezésnek nevezzük, ha minden $a$∈$A$ esetén legfeljebb egy olyan $b$∈$B$ van, amire $(a,b)$∈ρ. A ρ:$A$→$B$ A-ból $B$-be történő megfeleltetést $A$-t $B$-be képező leképezésnek nevezzük, ha minden $a$∈$A$ esetén pontosan egy olyan $b$∈$B$ van, amire $(a,b)$∈ρ.

X és Y halmazokat ekvivalensnek nevezünk, ha létezik X-et Y-ra képező kölcsönösen egyértelmű leképezés. Ez az ekvivalencia egy tranzitív, szimmetrikus, és reflexív reláció.

Halmazok számossága

Azt mondjuk, hogy egy halmaz véges (azaz a halmaz elemeinek a száma véges), ha nem létezik olyan bijektív leképezés, ami a halmazt egy valódi részhalmazába képezi le. Ellenkező esetben végtelen halmazról beszélünk.

Megjegyzés. A véges halmazok fenti definíciója ekvivalens a következő, a természetes szám fogalmát is használó definícióval: Tetszőleges $A$ halmazt véges halmaznak nevezünk, ha valamely $n\in N$ természetes számra létezik $\{1,\dots ,n\}\to A$ bijekció.

Lásd még

• Mértani hely
• De Morgan-azonosságok

Hivatkozások

• Rédei László: Algebra I. kötet, Akadémiai Kiadó, Bp (1954)
• Szendrei Ágnes: Diszkrét matematika, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1994)
• Totik Vilmos: Halmazelméleti feladatok és tételek, Polygon, JATE Bolyai Intézet, Szeged (1997)
• Hajnal András & Hamburger Péter: Halmazelmélet, 3. kiadás, Nemzeti Tankönyvkiadó, Bp (1994) ISBN 963-18-5998-3
• Halmos, Paul R., Naive Set Theory, Princeton, N. J.: Van Nostrand (1960) ISBN 0-387-90092-6
• Stoll, Robert R., Set Theory and Logic, Mineola, N. Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4