Parciális derivált

A matematikai analízisben parciális deriváltnak nevezzük a többváltozós függvények olyan deriváltját, amikor a függvényt egy rögzített változójának függvényeként fogjuk fel, eszerint deriválunk, miközben a többi változójelet konstans értéknek tekintjük. A többváltozós függvények parciális deriváltja az egyváltozós differenciálás hasznos általánosítása, a Fréchet-deriválttal együtt. Ha nem csak a szokásos módon, az Rⁿ térben és annak n kitüntetett iránya mentén kívánjuk értelmezni a parciális derivált fogalmát, akkor két módon általánosíthatjuk. Az egyik az iránymenti derivált, a másik a lokálisan kompakt terekben alkalmazható Gateaux-derivált.

Definíció

Adott, nyílt halmazon értelmezett

$f:\mathbb {R} ^{n}\mapsto \mathbb {R} ,(x_{1},x_{2},...,x_{n})\mapsto f(x_{1},x_{2},...,x_{n})$

n változós valós értékű függvény x₁ változó szerint parciálisan differenciálható az értelmezési tartománya egy rögzített

$(u_{1},u_{2},...,u_{n})\,$

pontjában, ha az egyváltozós

$f(\,.\,,u_{2},u_{3},...,u_{n}):\;{\mathsf {x_{1}}}\mapsto f({\mathsf {x_{1}}},u_{2},u_{3},...,u_{n})$

(ún. parciális-) függvény differenciálható az u₁ helyen. Ekkor az előbbi parciális függvény u₁-beli deriváltját az f függvény x₁ szerinti parciális deriváltjának nevezzük. Hasonlóképpen értelmezhető az x₂, x₃, … , x_n szerinti parciális derivált, mely rendre az f(u₁ , $\cdot$ ,u₃,…,u_n), f(u₁,u₂, $\cdot$ ,u₄, …, u_n), … , f(u₁, u₂,…, $\cdot$ ) parciális függvények deriváltjai.

Jelölés

Ha az f függvény értelmezési tartományának minden alkalmas pontjához hozzárendeljük az ottani parciális deriváltat, akkor szintén egy többváltozós függvényhez jutunk. A parciális derivált függvényeknek elég sok jelölésük van, melyek mindegyike adott esetben lényegesen megkönnyítheti az írásmódot. Az x₁, x₂, … , x_n vagy x, y, z, …, w változóktól függő f függvény parciális derivált függvényei:

$\partial _{1}f$, $\partial _{2}f$, … , $\partial _{n}f$,

$\partial _{x}f$, $\partial _{y}f$, … , $\partial _{w}f$,

${\frac {\partial f}{\partial x}}$, ${\frac {\partial f}{\partial y}}$, ${\frac {\partial f}{\partial z}}$, … , ${\frac {\partial f}{\partial w}}$,

$f'_{x}\,$, $f'_{y}\,$, $f'_{z}\,$, … , $f'_{w}\,$

Egy z = f(x,y) kétváltozós függvény parciális deriváltjai egy adott (x₀, y₀) pontban a változókhoz tartozó parciális függvények deriváltjaiként értelmezhetők. A függvénygrafikonból ez geometriailag úgy származtatható, hogy az x = x₀ illetve az y = y₀ egyenletű síkokkal elmetsszük a függvény által meghatározott felületet és a keletkezett görbéknek, mint egyváltozós függvényeknek meghatározzuk a deriváltjait a keresett pontban. (Az ábrán az f(x,y)= sin(x²+y²)/(x²+y²), f(0,0)=1 függvény grafikonja látható, és az (1,-1) ponthoz tartozó f( . ,-1) és f(1, . ) parciális függvények.)

Deriválási szabályok

Linearitás: $\partial _{i}(\lambda f+\mu g)(x)=\lambda \partial _{i}f(x)+\mu \partial _{i}g(x)$

Szorzat: $\partial _{i}(f\cdot g)(x)=\partial _{i}f(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot \partial _{i}g(x)$

Projekciófüggvények: $\partial _{i}x_{k}=\delta _{ik}$ /Kronecker-delta/

Függvénykompozíció: $\partial _{i}(\varphi \circ f)(x)=\varphi '(f(x))\cdot \partial _{i}f(x)$, $\partial _{i}(f\circ F)(x)=\sum \limits _{k=1}^{m}(\partial _{k}f)(F(x))\cdot \partial _{i}F_{k}(x)$

ahol φ:R$\rightarrow$R differenciálható, F: R^m$\rightarrow$Rⁿ komponensfüggvényenként parciálisan differenciálható függvény.

Példa

Az adott térfogatú téglatestek közül melyiknek a legkisebb a felszíne, tehát milyen legyen a téglatest a, b és c éle, hogy eleget tegyen a

$V=a\cdot b\cdot c=const.\,$

$A=2ab+2ac+2bc=min.\,$

feltételnek?

Az első egyenletből a=V/(bc). Ezt a felszín képletébe írva a következő kétváltozós függvényt kapjuk:

$A(b,c)=2{\frac {V}{b}}+2bc+2{\frac {V}{c}}$

Ennek kell megkeresni a minimumát, mely ha elképzeljük a kétváltozós függvényt, akkor olyan pont, ahol a felülethez rajzolt érintősík „vízszintes”. Ez viszont pont akkor van, amikor a parciális függvények érintői szintén mindketten „vízszintesek”, azaz ahol teljesül: ∂_bA = 0 és ∂_cA = 0, tehát:

${\frac {\partial A}{\partial b}}={\frac {-2V}{b^{2}}}+2c=0$ és

${\frac {\partial A}{\partial c}}={\frac {-2V}{c^{2}}}+2b=0$

ahonnan V = b²c = bc², vagyis c = b és V = b³, ez viszont azt jelenti, hogy a = b = c, azaz a keresett test a V térfogatú kocka.

Kapcsolat a teljes differenciállal

Ha egy f:Rⁿ$\mapsto$R függvény totálisan differenciálható az értelmezési tartománya egy u pontjában, akkor abban a pontban minden parciális deriváltja létezik. Ez ugyan megfordítva nem teljesül, de a teljes differenciálhatóságnak egyfajta elégséges feltételét megfogalmazhatjuk. Ha az u pontban az összes parciális derivált létezik és legfeljebb egy kivételével a parciális derivált függvények folytonosak u-ban, akkor f totálisan differenciálható.

A parciális deriváltak arra is jók, hogy felírhassuk segítségükkel a differenciál leképezés mátrixát. A differenciál mátrixa a J^f(u)_ik=∂_kf_i(u) Jacobi-mátrix lesz, ahol f_i függvény az f:R^m$\mapsto$Rⁿ függvény i-edik komponensfüggvénye.

Források

• A parciális derivált
• A parciális derivált a MathWorld-ön
• A parciális derivált a fizikában