Extrémérték-elmélet

Az extrémérték-elmélet szélsőséges eseményekkel a valószínűségszámítás keretein belül foglalkozik.

Az extrémérték-elméletben modelleket készítenek az extrém, igen ritkán előforduló események bekövetkezésének kockázatára.

Extrém események az élet minden területén előfordulhatnak, mint például: az elmúlt 100 év leghidegebb napja, tőzsdekrach, földrengés, stb. Az aktuáriusi matematika szempontjából is, mely a kockázatok kvantifikált pénzügyi hatásaival foglalkozik, hasznos lehet az extrémérték-elmélet.

Az extrémérték-elmélet, mely az utóbbi évtizedekben indult jelentősebb fejlődésnek, ezeknek az extrém események modellezésével foglalkozik. Egy jól megválasztott modell segítségével jobb előrejelzés adható ritka események bekövetkezésére. Az általános elmélet az aktuális folyamathoz leginkább illeszthető valószínűség eloszlást jelöli ki.

Megközelítések

Két alapvető megközelítést ismerünk:

1. Az alapvető elmélet, melyet Burry K.V. írt le a könyvében (1975). Ez megfelel az extrémérték-elmélet első tételének (Fisher és Tippett, 1928; Gnedenko, 1943).
2. Jelenleg leginkább közismert és használatos az úgynevezett ‘vastag szél’ megközelítés, mely az extrémérték-elmélet második tételén alapul (Pickands, 1975; Balkema és de Haan, 1974).

A két tétel közötti különbség az adatok generálásának természetében van.

Az I. tétel esetében teljes, széles körű adatgenerálás történik. A II. tétel esetén csak azok az adatokat veszik figyelembe, melyek egy határérték felett van, ezt a POT modellnek hívják, mely egy betűszó az angol 'Peak Over Threshold' (Küszöb feletti csúcsérték)- ből ered.

A POT megközelítést a biztosítási üzletágban fejlesztették ki, ahol csak egy bizonyos küszöbérték felett éri veszteség a biztosítási céget. Furcsa módon ezt a modellt gyakran alkalmazzák a I. tétel esetén is, mely az alapvető modell szerint kezeli a problémákat. Az extrémérték-eloszlás korlátozó eloszlás a független valószínűségi változók minimumára és maximumára egy nagy mintavételnél, minden hasonló, tetszőleges eloszlásra. Emil Julius Gumbel 1958-ban kimutatta, hogy minden kezdeti “jólnevelt” eloszlásnál (azaz folytonos és van inverze), csupán kevés modellre van szükség, függetlenül attól, hogy a minimum vagy a maximum az érdekes, és megfigyelések hová esnek.

Alkalmazások

Az extrémérték-elméletet - többek között - a következő területeken alkalmazhatják:

• Extrém áradások
• Nagy mennyiségű biztosítási veszteségek
• Napi piaci kockázatok
• Cunamik
• Nagy erdőtüzek
• Olajvezetékek koncentrált korróziója
• Extrém sportteljesítmények

Történet

Az extrémérték-elméletet elsőként Leonard Tippett (1902–1985) vezette be. Tippett a British Cotton Industry Research Association (Brit Gyapotipari Kutatási Társaság) alkalmazottja volt, ahol a fonalak erősítésén dolgozott. Tanulmányai során rájött, hogy egy fonal erőssége a leggyengébb száltól függ. R. A. Fisher segítségével kidolgozott három aszimptotikus határértéket, mely leírja az extrém eloszlásokat. A német matematikus és náciellenes aktivista Emil Julius Gumbel törvénybe foglalta ezt az elméletet ‘Statistics of Extreme’ című könyvében 1958-ban. A könyv tartalmazza a Gumbel-eloszlást is, mely eloszlást róla neveztek el.

Egyváltozós elmélet

A klasszikus extrémérték-elmélet és modellek

Legyen $X_{1},\dots ,X_{n}$ egy független és azonos eloszlású változók sorozata, F eloszlási függvénnyel, és legyen $M_{n}=\max(X_{1},\dots ,X_{n})$ a maximum. Az elmélet szerint a maximum pontos eloszlása levezethető:

${\begin{aligned}\Pr(M_{n}\leq z)&=\Pr(X_{1}\leq z,\dots ,X_{n}\leq z)\\&=\Pr(X_{1}\leq z)\cdots \Pr(X_{n}\leq z)=(F(z))^{n}\end{aligned}}$

A gyakorlatban nem áll rendelkezésünkre az F eloszlási függvény, de a Fisher–Tippett–Gnedenko tétel –ből következik az aszimptotikus eredmény: Ha léteznek $\{a_{n}>0\}$ konstansok, és $\{b_{n}\}$, akkor

$\Pr\{(M_{n}-b_{n})/a_{n}\leq z\}\rightarrow G(z)$, ha $n\rightarrow \infty$, és G egy nem degenerált eloszlás, úgy $G$ az egyik következő családhoz tartozik:

$G(z)=\exp \left\{-\exp \left(-\left({\frac {z-b}{a}}\right)\right)\right\}{\text{ for }}z\in \mathbb {R} .$

$G(z)={\begin{cases}0&z\leq b\\\exp \left\{\left(-\left({\frac {z-b}{a}}\right)\right)^{-\alpha }\right\}&z>b.\end{cases}}$

$G(z)={\begin{cases}\exp \left\{-\left(-\left({\frac {z-b}{a}}\right)\right)^{\alpha }\right\}&z<b\\1&z\geq b.\end{cases}}$

ahol $\alpha >0$.

Irodalom

• Burry K.V: Statistical Methods in Applied Science. (hely nélkül): John Wiley & Sons. 1975.  
• Castillo, E: Extreme value theory in engineering. (hely nélkül): Academic Press, Inc. New York. 1988.  
• Embrechts, P., C. Klüppelberg, and T. Mikosch: Modelling extremal events for insurance and finance. (hely nélkül): Berlin: Spring Verlag. 1997.  
• Gnedenko, B.V: Sur la distribution limite du terme maximum d'une serie aleatoire. (hely nélkül): Annals of Mathematics, 44. 1943. 423–453. o.  
• http://www.fas.org/irp/agency/dod/jason/statistics.pdf
• http://www.cs.elte.hu/blobs/diplomamunkak/mat/2011/krusper_marta.pdf
• https://books.google.hu/books?id=kXCg8B5xSUwC&lpg=PP1&dq=Statistics+of+Extremes+gumbel&pg=PP1&hl=hu#v=onepage&q=Statistics%20of%20Extremes%20gumbel&f=false

Kapcsolódó szócikkek

• Nagy eltérések elmélete
• Pareto-eloszlás
• Valószínűségszámítás
• Statisztika
• Matematikai statisztika
• Normális eloszlás
• Exponenciális eloszlás
• Szórás
• Valószínűségi változó
• Szórásnégyzet
• Weibull-eloszlás