Henger

Egyenes köralapú henger

Elliptikus henger

A henger (idegen szóval cilinder) térbeli test. A henger alapját egy görbe, a vezérgörbe adja. Többnyire olyan hengerről van szó, aminek alapját ellipszis, speciális esetben kör alkotja. Legtöbbször ezt nevezik hengernek.

A keskenyebb, vagyis az alapot képező kör átmérőjénél lényegesen kisebb magasságú vagy szélességű hengert korongnak nevezik.

A(z elliptikus) henger leírható például az alábbi egyenlőtlenség-rendszerrel:

$\left({\frac {x}{r_{1}}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{r_{2}}}\right)^{2}\leq 1,\quad 0\leq z\leq h$

ahol $r_{1}$ és $r_{2}$ az alapot képző ellipszis sugarai, $h$ pedig a henger magassága.

A henger elfajult másodrendű felület, mert egyenletében nem szerepel a harmadik koordináta.

Képletek

Térfogat

A henger térfogata az alap területének és a henger magasságának a szorzata. Ellipszis alapú hengerek térfogata, a fenti jelöléseket használva, az alábbi formula szerint számítható:

$V=\pi r_{1}r_{2}h\,$

amely köralapú hengernél így egyszerűsödik le:

$V=\pi r^{2}h$

Felszín

A kör alapú henger felszíne kiszámítható a palást felületét és az alap felületének kétszeresét összegezve:

$A=2\pi rh+2\pi r^{2}=2\pi r(r+h).\,$

Adott térfogat mellett a henger felszíne a $h=2r$ esetben minimális. Adott felszín mellett a térfogat $h=2r$ esetben maximális.

Hengerszeletek

Körhenger és sík metszete ellipszis, elfajult esetben két párhuzamos egyenes, vagy üres halmaz.

Másfajta hengerek

• Más vezérgörbéjű felületeket is hengernek nevezhetnek. Így például beszélnek
  • hiperbolikus hengerről:

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}-\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1$

• • parabolikus hengerről:

$x^{2}+2ay=0.\,$

A valós elliptikus hengereken kívül találkozhatunk képzetes elliptikus hengerekkel is, amiknek nincs valós pontjuk:

$\left({\frac {x}{a}}\right)^{2}+\left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=-1$

Tankprobléma

Egy fekvő, nem teli hengerben levő folyadék térfogatát is kiszámíthatjuk a térfogat = alapszor magasság képlettel. A körszelet területképletével

$V=r^{2}L\left(\arccos \left({\frac {r-h}{r}}\right)-(r-h){\frac {\sqrt {2rh-h^{2}}}{r^{2}}}\right),$

ahol L a henger hossza, r az alapkör sugara, h a hengerben levő folyadék magassága.

Hengerfelület a topológiában

Vegyünk egy négyzetet, és azonosítsuk egymással két szemben fekvő oldalát. Pontosabban, az $([0,1]\times [0,1])$ egységnégyzet két oldalát a következő reláció szerint azonosítjuk:

(x,0)~(x,1) minden 0 ≤ x ≤ 1-re.

Hasonlóan áll elő a Möbius-szalag, de ahhoz el kell fordítani az egyik oldalt a teljesszög felével.

Galéria

• 

  A henger magassága h-val, az alapkör sugara r-rel jelölve az angol height és a latin radius szavak rövidítéseként.

• 

  A kör átmérőjét itt d (diameter) jelöli.

• 

  Piros, sugárkövetéssel renderelt henger.

• 

  Rácsmodellel szemléltetett henger.

Források

• A henger felszíne a MATHguide-nál
• A henger térfogata a MATHguide-nál
• Spinning Cylinder at Math Is Funnál
• A henger térfogata interaktív animáció a Math Open Reference-nél
• Szűcs András: Topológia