Konvex halmaz

Példa konvex halmazra.

Egy ponthalmaz konvex az euklideszi térben, ha bármely két pontjának összekötő szakaszát tartalmazza. Például a kocka konvex, a félhold nem. A konvex halmaz fogalmának számos általánosítása is létezik, például rendezett testek feletti vektorterekben, normált terekben, sőt a konvexitás fogalma absztrahálható tetszőleges halmazokra is.

Az euklideszi geometriában

Legyen a C halmaz egy valós vektortér része. C konvex, ha minden x,y eleme C-re és t eleme [0,1]-re (1-t)x+ty eleme C-nek. Más szóval: az x és az y összekötő szakasza benne van C-ben. Ezért minden valós vektortérbeli konvex halmaz útösszefüggő, tehát összefüggő.

R konvex részhalmazai pontosan az intervallumok. A valós sík konvex részhalmazaira példák a szabályos sokszögek, a valós tér konvex részhalmazaira pedig a szabályos és a félig szabályos testek. Nagyon fontos példák a félterek az n dimenziós vektorterekben.

Metrikus terekben

A konvexitás fogalma könnyen általánosítható metrikus terek alakzataira (részhalmazaira) és fontos szerepet játszik speciális tulajdonságokkal bíró metrikus terek jellemzésében.

Legyen (T,d) egy metrikus tér, A, B és K pedig három T-beli pont. Ekkor a K pontot az A, B pontok közbülső pontjának nevezzük, ha érvényes d(A,K)+d(K,B)=d(A,B), vagyis ha a K közbeiktatásával mért távolságok összege éppen annyi, mint az A és B pont közti távolság. Az A és B közbülső pontjainak halmaza - jelöljük K(A,B)-vel - az euklideszi térben az AB egyenes szakasz.

Mármost egy X⊆T alakzatot konvexnek nevezhetünk, ha bármely X-ből vett A, B pontpár összes közbülső pontja is X-beli pont.

Magát a metrikus teret konvexnek nevezzük, ha T mint önmaga részhalmaza a fenti értelemben konvex.

Tulajdonságok

Az $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}$ vektorokra és a $\lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{r}$ nemnegatív számokra, melyek összege 1, a $\sum _{k=1}^{r}\lambda _{k}u_{k}$ vektor az $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}$ vektorok konvex kombinációja. Ha S konvex, akkor minden $u_{1},u_{2},\ldots ,u_{r}$ eleme S vektorok összes konvex kombinációja eleme S-nek.

Akárhány konvex halmaz metszete konvex, így a vektorterek konvex részhalmazai hálót alkotnak. Ez azt is jelenti, hogy a vektorterek minden részhalmazának van konvex burka, azaz van egy őt tartalmazó legszűkebb konvex halmaz, ami az összes tartalmazó konvex halmaz metszete.

A zárt konvex halmazok zárt félterek metszeteként jellemezhetők.

Speciális típusok

Normált terekben értelmezhetők a konvexitás speciális esetei:

Az (X, ||.||) normált tér szigorúan konvex, ha minden x,y-re, amire ||x||=||y||=1, és ||(x+y)/2||=1, teljesül, hogy x=y.

Tétel: Szigorúan konvex normált térben minden x ponthoz, és minden véges dimenziós M altérhez egyértelmű az x ponthoz a norma (matematika) szerinti legjobb M altérbeli közelítés.

Tétel: Szigorúan konvex normált térben a zárt egységgömb szigorúan konvex, azaz minden ||x||=||y||=1-re, és minden 0<λ<1 számra λx+(1-λ)x normája egynél kisebb.

Van, hogy így vagy hasonlóan definiálják a szigorú konvexséget.

Lemma: A Hilbert-terek szigorúan konvexek.

Az (X, ||.||) normált tér egyenletesen konvex, ha minden ε pozitív számhoz van δ pozitív szám, hogy ha ||x||=||y||=1, és ||(x+y)/2||>1-δ, akkor ||x-y||<ε.

Tétel: Egyenletes konvexségből következik a szigorú konvexség. Véges dimenziós tereken ez a két fogalom ekvivalens.

Lemma: Ha (X, ||.||) egyenletesen konvex, || x_n ||→1 és || x_n + x_m ||→2, n,m tart a végtelenbe esetén, akkor x_n Cauchy-sorozat.

Tétel: (X, ||.||) egyenletesen konvex Banach-tér, M zárt és konvex részhalmaza X-nek. Ekkor X minden x pontjához egyértelműen van olyan eleme M-nek, ami normában a legjobban közelíti.

Általánosítások

A C ponthalmaz csillagszerű, ha van benne egy x₀ pont, amire minden y eleme C-re az [x₀,y] összekötő szakasz benne van C-ben. Egy nem üres konvex halmaz csillagszerű, de nem minden csillagszerű halmaz konvex.

Nemeuklideszi geometriákban is szokás definiálni a konvexséget, de ekkor az összekötő szakaszok helyét az összekötő geodetikus vonalak veszik át. Így definiálják a geodéziai konvexséget.

Az ortokonvex halmazokra a konvex tulajdonságot csak azokra az összekötő szakaszokra követelik meg, amelyek valamelyik koordinátatengellyel párhuzamosak. Könnyen bizonyítható, hogy akárhány ortokonvex halmaz metszete is konvex, és a konvex halmazok néhány más tulajdonsága is teljesül ortokonvex halmazokra.

Absztrakt konvexség

Adva legyen az X halmaz, elemeit pontoknak tekintjük. Legyen ${\mathcal {C}}$ X részhalmazainak egy rendszere, ami eleget tesz a következőknek:

• Az üres halmaz és X eleme ${\mathcal {C}}$
• ${\mathcal {C}}$ -beli halmazok metszete is ${\mathcal {C}}$ -beli.
• A ${\mathcal {C}}$ elemeiből álló láncok uniója is ${\mathcal {C}}$ -beli.

${\mathcal {C}}$ elemei konvexeknek tekintendők.

Egy alternatív definíció a véges geometriákhoz tartozik.

Források

• Rawlins G.J.E. and Wood D, "Ortho-convexity and its generalizations", in: Computational Morphology, 137-152. Elsevier, 1988.
• Soltan, Valeriu, Introduction to the Axiomatic Theory of Convexity, Ştiinţa, Chișinău, 1984 (in Russian).
• Himmelblau M.D. and Edgar T.E, "Optimization of Chemical Processes", 2nd Edition, 121-151. McGraw-Hill, 2001 (International Edition).
• Simon Péter: Analízis V.
• Matolcsi Tamás: Analízis V.
• Járai Antal: Mérték és integrál
• Komornik Miklós: Valós analízis előadások II.
• Paul R. Halmos: Mértékelmélet
• Császár Ákos: Valós analízis II.
• Medvegyev Péter: Valószínűségszámítás
• A. A. Krilov – A. D. Gvisiani: Feladatok a funkcionálanalízis köréből
• Stoyan Gisbert – Takó Galina: Numerikus módszerek 1.